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en mathématiques et physique, un champ hamiltonien, dont le nom est dû à William Rowan Hamilton, Il est un type particulier de champ vectoriel induite par une fonction spéciale appelée hamiltonien, dont elle est la transformer legendre de lagrangien d'un système.

définition

En général, le concept de « champ hamiltonien » est défini dans la symplectique. un variété symplectique est un différentiables équipé d'un 2-forme différentielle qui définit le une structure complexe non dégénéré (ce qui implique nécessairement que la variété doivent avoir une taille égale). Depuis le 2-forme est non-dégénérée, ce qui induit entre le faisceau tangent et le cotangent variété d'applications à une, qui associe à chaque vecteur de tangente en un point une forme linéaire (covettore) sur le même point:

pour chaque , application est un isomorphisme d'espaces linéaires:

En vertu de ce fait, pour chaque forme une différentielle de vous pouvez faire correspondre un champ vectoriel. En vertu de cette correspondance, en particulier, un 1-forme exact - à savoir différentiel de tout fonction différentiable - détermine un champ de vecteurs unique , ledit champ de vecteurs hamiltonien par rapport à l'hamiltonien . Le champ en question est obtenue en exigeant que pour chaque champ vectoriel sur il vérifie l'identité:

Selon les conventions, le champ de vecteurs hamiltonien peut être défini de manière équivalente avec un signe opposé. Un exemple de variété symplectique lequel il est appliqué est le l'espace de phase dans lequel évolue le système mécanique décrit par équations de Hamilton, le faisceau de cotangente de l'espace de configuration. Cette pièce est équipée avec une structure géométrique naturel, ledit Une forme de Liouville , dont l'écart , dire canonique de forme symplectique, joue un rôle clé dans la structure des équations de Hamilton.

propriété

Chaque champ vectoriel Il peut induire une transformation de la variété sur lequel est définie en elle-même, par rapport à laquelle chaque point de la variété est parcourue le long de la respective les lignes d'écoulement du champ (à savoir les courbes où vecteur tangente au point de la courbe du point coïncide avec le champ vectoriel ). Ce type de transformation est appelée groupe à un paramètre généré par diffeomorphisms et est en fait un groupe si la condition est respectée exhaustivité. Le champ hamiltonien a la propriété de génération d'un groupe à un paramètre de difféomorphisme qui est également une carte symplectic, à savoir une carte qui conserve la forme 2-différentiel . Dans les formules:

et désigne la matrice jacobienne de calculé au point .

lignes de flux

la des lignes d'écoulement un champ hamiltonien à deux dimensions sont toutes dans la courbes de niveau hamiltonien , -à-dire dans des courbes d'équation cartésienne pour certains réel.

Ce fait est démontré en notant que si est une ligne d'écoulement, elle doit compter sur l'égalité:

puis Il doit rester constant, en fait:

.

gradient hamiltonien

Un hamiltonien de champ il est toujours orthogonal un champ de gradient son hamiltonien. En fait:

où le calcul est effectué point par point dans les coordonnées canoniques le collecteur symplectique , et 2n est la taille de .

Solenoidalità

Tous les champs sont hamiltonien solénoïde, à savoir la théorème Schwarz avoir divergence quoi que ce soit partout:

Cela implique que l'écoulement d'un champ de conserves hamiltonien volume.

Les coordonnées canoniques

pour la théorème Darboux, chaque variété symplectique taille Il admet (au moins localement, pour chaque point) un ensemble de coordonnées ladite canonique, pour lequel la 2-forme Il est de la forme:

Cela signifie que deux variétés symplectiques de la même dimension sont impossibles à distinguer localement. Par rapport à ces coordonnées du champ vectoriel localement hamiltonien est écrit:

Sous forme matricielle:

la matrice , également appel matrice symplectique, vérifie les propriétés , où Il est la matrice d'identité. Localement, puis le 2-form il définit effectivement une structure complexe (relation similaire à celle de la ).

Les crochets de Poisson

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Les crochets de Poisson.

Le champ notion hamiltonien de vecteur peut conduire à la définition des crochets de Poisson, qui sont un biais-opération bilinéaire sur les fonctions différentiables définies sur une variété symplectique . Les crochets de Poisson sont définies comme suit:

indique la Dérivé de Lie le long du champ vectoriel . De plus, on peut montrer qu'il est valide à la formule suivante:

qui identifie le commutateur de Lie hamiltonien de deux champs de vecteurs générée par Hamiltonians et (Un membre de l'équation de droite) avec le champ de vecteurs hamiltonien générés directement à partir des crochets de Poisson entre et , (Le premier élément). En raison de cette égalité, crochets de Poisson répondent aux 'identité Jacobi:

ce qui signifie que le espace vectoriel des fonctions différentiables de , équipé du crochet de Poisson a la structure d'un algèbre de Lie sur , et le plan défini par Il est un morphisme d'algèbre de Lie, dont noyau consiste à fonctions localement constantes (fonctions constante si est connectée).

Deux dimensions espace euclidien

Dans certains contextes, au lieu de considérer les espaces des phases bien sûr équipé d'une structure symplectique, il est tacitement admis que les coordonnées sont en cours d'utilisation canonique (Ce, au sens strict, il est seulement possible dans des espaces de taille égale). Par exemple, lorsque l'on considère la plan cartésien et il est supposé que les coordonnées et sont canoniques, il est atteint qu'une date fonction différentiable sur une ouverture :

la champ hamiltonien de est le champ de vecteurs qui associe à un point en le support:

et dénoter dérivées partielles de .

bibliographie

  • (FR) Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden, Fondements de la mécanique, Londres, Benjamin-Cummings, 1978 ISBN 0-8053-0102-X.
  • (FR) I.v. Arnol'd, Méthodes mathématiques de la mécanique classique, Etc Berlin, Springer, 1997 ISBN 0-387-96890-3.
  • (FR) Theodore Frankel, La géométrie de la physique, Cambridge, Cambridge University Press, 1997 ISBN 0-521-38753-1.
  • (FR) Dusa McDuff, Salamon, D., Introduction à la topologie symplectique, Oxford mathématique Monographies, 1998 ISBN 0-19-850451-9.

Articles connexes

liens externes

(FR) champ hamiltonien, en PlanetMath.




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