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Remarque disambigua.svg homonymie - Si vous êtes à la recherche d'autres significations du hamiltonien, voir hamiltonien.

en la mécanique quantique l 'hamiltonien est le 'opérateur associé à 'énergie un total de système physique.[1] Comme le générateur dell 'évolution temporelle joue un rôle central dans le développement de la mécanique et dans son utilisation.

définition

le hamiltonien Elle est définie comme la somme des 'énergie cinétique et dell 'énergie potentielle :

où l'énergie cinétique d'une particule de masse m il est:

avec l 'opérateur d'impulsions, qui a la forme:

L 'nabla image , compris comme un produit scalaire du gradient avec lui-même, est l'opérateur de dérivation laplacien:

On obtient ainsi la forme de 'équation de Schrödinger:

Étant donné que chaque opérateur associé à une observable (dans ce cas l'énergie), l'hamiltonien est un opérateur linéaire autoadjoints. son eigenstates ils sont états stationnaires système en question et son valeurs propres sont les niveaux d'énergie correspondant.

Du point de vue de l'algèbre linéaire, nous pouvons considérer l'hamiltonien comme matrice hermitienne généralement de dimension infinie.

des systèmes particules

Le formalisme peut être étendu à un système de N particules:

où:

Il est l'énergie potentielle, alors que:

Il est l'énergie cinétique 'n-e particule, pour laquelle le Laplacien est de la forme:

On obtient ainsi la forme de l'équation de Schrödinger pour un système de N particules:

Quels sont les problèmes dans plusieurs sections du mouvement d'une particule dépend généralement de la configuration globale du système. En fait, le potentiel caractéristique du système dépend de la configuration des corps, et donc l'énergie cinétique dépend d'une telle configuration de manière à préserver l'énergie totale. Cela peut conduire à la présence de type de gradients « mixtes »:

M Il est la masse de l'ensemble des particules. De telles expressions sont appelées termes de polarisation de masse.

Si le N les particules qui composent le système ne sont pas mutuellement en interaction l'énergie potentielle du système peut être écrit comme la somme des énergies possédées par des composants individuels:[2]

et la forme générale hamiltonien est:

où la somme est prise sur toutes les particules.

équation de Schrödinger

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: équation de Schrödinger.

équation de Schrödinger indépendante du temps

L'équation de Schrödinger indépendante du temps est de la forme:

Cette équation, exprimée en formalisme de Dirac Il doit être interprété comme une valeur propre de l'équation. Il est une matrice pour laquelle vous voulez trouver vecteurs propres et valeurs propres. Dans la représentation des coordonnées prend la forme:

et elle génère une équation différentielle dont les solutions correspondent aux états propres .

Par exemple, la particule libre qui montre que l'énergie cinétique:

Les solutions qui sont les ondes planes d'impulsion , donnée par:

L'équation de Schrödinger dépendante du temps

L'équation de Schrödinger dépendant du temps est de la forme:

L 'évolution temporelle, étant transformation canonique, Elle est représentée par un opérateur unitaire . il est le générateur, puis:

L'application de cette relation à un état générique est déduit de la représentation :

Evolution du temps

L'évolution temporelle de la loi est la suivante:

Dans le cas de un'Hamiltoniano indépendant au moment où vous pouvez facilement écrire l'opérateur d'évolution temporelle entre le temps et le temps :

Par conséquent, les États, en représentation de Schrödinger, évoluer selon la loi:

Les états stationnaires sont donc tous et seuls les états propres de l'hamiltonien.

De manière équivalente, vous pouvez écrire l'évolution temporelle représentation Heisenberg:

où les crochets indiquent le interrupteur entre et . Cela notamment dit que le constantes de mouvement Ils sont observables qui font la navette avec l'hamiltonien.

constantes de mouvement et symétries

Lorsqu'un observable A commute avec l'hamiltonien nous dérivons une double interprétation. A est une constante du mouvement, car invariant par rapport à la transformation produite par H (l'évolution temporelle). En même temps, H est invariant par rapport à la transformation générée par A. Cette information peut être très utile afin de simplifier la solution des problèmes. Par exemple, dans le cas de l'atome d'hydrogène, l'impulsion totale est une constante du mouvement. Cela signifie également que l'hamiltonien est invariant par les traductions, en accord avec le fait que nous envisageons un système isolé. Il est donc possible, grâce à un changement de variables canoniques, diviser H dans sa partie liée au mouvement du centre de masse et en ce que relative. Etant donné que les deux parties de commutation, nous pouvons étudier séparément avec des économies considérables dans le calcul. Même le moment cinétique L commute avec H, et étant donné qu'il est le générateur de rotations, en passant en coordonnées sphériques peut étudier séparément la partie radiale de cet angle.

opérateur hamiltonien divisibilité

Si vous avez besoin de décrire un système composé de plusieurs sous-systèmes, il est généralement pas possible de considérer les sous-systèmes indépendants les uns des autres: l'énergie cinétique totale est la somme des énergies cinétiques individuelles, mais tombent dans les termes d'énergie potentielle interaction mutuelle.

si On sépare alors l'opérateur hamiltonien total serait la somme arithmétique des opérateurs hamiltonien de chaque sous-système. Par conséquent, wavefunction Système total serait produttoria de toutes les fonctions d'onde et l'énergie totale de la résumé d'énergie. En première approximation, il est possible d'envisager un hamiltonien composé de parties indépendantes et donc séparable, mais en réalité, cela ne se produit pas, parce que dans la grande majorité des cas, des termes d'interaction ont une importance fondamentale. D'autre part, il est possible d'effectuer un traitement approximatif, a déclaré la théorie des perturbations.

Le but est d'arriver à:

ou à une somme de termes complètement indépendants.

Plus précisément, dans un système constitué de noyaux et électrons en orbite autour autour d'eux, la masse des noyaux est bien supérieure à la masse des électrons pour cette raison et, sur l'égalité élan, les noyaux ont une vitesse presque nulle par rapport aux électrons et peuvent être considérés comme stationnaire.

L'établissement conventionnellement que la masse de l'électron, le moment angulaire et la charge électronique ont une valeur égale à 1, sur la base de cette hypothèse que les électrons ont leur propre mouvement. A ce stade, est calculé :

D'abord, vous pouvez laisser de l'énergie cinétique des noyaux et l'énergie potentielle entre les paires noyaux. Pour le reste, nous avons:

Finalement, vous obtenez:

Le Hamiltonien (énergie) est le générateur d'évolution temporelle, en ce sens que si Il est fonction des positions et des moments, une traduction en temps infinitésimal Il génère un infinitésimale de translation proportionnelle de la fonction, en fonction de:

où les crochets sont Poisson dans le cas d'hamiltonien mécanique et sont des commutateurs (Fratto ) Dans la mécanique quantique.

De manière équivalente, l'infinitésimal évolution dans le temps est le générateur moins l'hamiltoniana - qui est de ne pas inverser les équations du mouvement. Nous avons donc une inversion de temps comme un renversement du spectre d'énergie. Si l'on définit t « = temps de croissance -t, la dynamique dans sa direction est générée à partir -H:

.

notes

  1. ^ (FR) UICPA Livre d'Or, « opérateurs hamiltonien »
  2. ^ Physique quantique des Atomes, Molécules, solides, et Nuclei particules (2e édition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0

Articles connexes

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