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en la mécanique quantique la wavefunction représente la état un système physique.

Il est fonction complexe tout Les coordonnées spatial et temps et sa signification est celle d'un 'amplitude de probabilité (D'où l'utilisation des deux termes comme des synonymes, ou la définition de la première fonction dans le second), ou son forme cadre est le densité de probabilité état des positions.

il est plus précisément la projection un état quantique sur la base de eigenstates un 'observable, dont la dynamique est décrite par 'équation de Schrödinger. Dans la représentation de l'état où elle est projetée sur les états propres de coordonnées de position, tandis que sous l'aspect de vecteur on peut penser à la fonction d'onde en tant que support à la limite des composants sans fin et continu. La densité de la probabilité que l'état a la position x sera alors le cadre du module de composante x-ième .

Hilbert espace et la fonction d'onde

Étant donné que la fonction d'onde est une fonction complexe, elle doit être définie dans un espace complexe. En outre, il est clair que doit être vrai d'une certaine manière principe de superposition. si et sont deux fonctions d'onde qui représentent les états possibles du système, alors:

, Il doit aussi être un état du système possible. Le principe de superposition conduit à définir la fonction d'onde dans un espace vectoriel complexe. Devrait donc appliquer les deux règles:

à savoir la linéarité par rapport à l'addition et la multiplication par une constante. En mécanique quantique, on suppose que l'état:

représente le même état de , autrement dit, les fonctions d'onde sont définis au sein d'un facteur de phase qui est sans importance et est souvent impliquée. Cependant, il est important de ne son module-cadre, ce qui implique que les fonctions d'onde doivent être fonctions de carré intégrable, qui est, il doit toujours l'emporter:

Cela nous conduit à imposer que sont définies les fonctions d'onde dans un espace de Hilbert complexe.

Chaque vecteur de cet espace représente un état du système. Une possible sa base est l'un des états avec la position bien définie, dans la notation de Dirac

Un vecteur générique V peut alors être représenté par ses composantes par rapport à cette base, ou par les produits scalaires

Interprétation de la fonction d'onde mécanique quantique

En mécanique quantique à chaque état "pur" (avec une matrice de densité ρ (q, t) = (ψ *) (ψ)) est associée à la fonction , à savoir

sa fonction d'onde,

où avec q Ils indiquent en général toutes les variables spatiales. Elle représente une amplitude de probabilité, ce qui signifie que la probabilité que la particule est dans la plage il est:

ce qui explique pourquoi les fonctions d'onde doivent être carré intégrable. Pour que la fonction d'onde représente une probabilité, il doit être normalisée à une:

né interprétation

max Born Il met en corrélation la notion de fonction d'onde avec la probabilité de trouver une particule en un point quelconque dans l'espace sur la base de l'analogie avec le la théorie ondulatoire de la lumière, pour lequel le carré de l'amplitude de l'onde électromagnétique dans une région est l 'intensité.

Selon Born, il est possible de déterminer la probabilité avec laquelle un électron se trouve dans un volume élémentaire à un dt point donné en faisant la ψ produit2dt. Dans le cas de la fonction d'onde complexe, la probabilité est proportionnelle au produit (ψ *) (ψ), où ψ * est la fonction conjuguée complexe. Pour que cela soit possible, il est nécessaire que la fonction d'onde est normalisée, à-dire il faut vérifier que la condition indique que l'électron est présente quelque part dans l'univers. En termes mathématiques, il doit se produire:

qui exprime également que la probabilité de trouver un électron correspond à 100% que dans le volume qui représente le domaine sur lequel l'électron peut se déplacer, ce qui en principe peut aussi être pas nécessairement infinie. L'interprétation a été adoptée par le Born 'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique.

fonction d'onde et paquet d'ondes

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: paquet d'ondes.

de de l'hypothèse Broglie nous avons vu qu'une particule peut associer un paquet d'ondes. Le type le plus général du paquet d'ondes:

Elle représente une fonction d'onde, à savoir une solution dell 'équation de Schrödinger avec sa propre évolution au fil du temps, immédiatement généralisé au cas de trois dimensions. parce que et , vous pouvez également écrire:

C Il est un besoin constant de normalisation.

Maintenant, que la signification de la fonction ou pris en considération dans la définition de la fonction d'onde. Prenons par exemple la fonction d'onde pour simplifier unidimensionnelle, et au moment convenablement normalisé:

l'exécution d'une transformée de Fourier nous obtenons:

ou:

Eh bien, si la fonction d'onde Il est normalisé aussi:

que vous pouvez facilement être calculé. Ainsi, même ou est une fonction d'onde dans l'espace des impulsions, son module de cadre
Il représente la probabilité que la particule a mouvement entre . Il iE une certaine symétrie entre l'espace des positions et la fonction d'onde et l'espace des impulsions avec la fonction d'onde .

Les opérateurs et les fonctions propres

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: observable.

Chaque grandeur physique en mécanique quantique qui peut être mesuré ou observé est appelé observable et il est représenté par un opérateur. Un opérateur agit sur la fonction d'onde avec le résultat de l'obtention d'une manière générale une autre fonction d'onde, à savoir l'application d'un statut d'opérateur de combinaison:

Dova est l'opérateur. Les valeurs d'une grandeur physique peut assumer en général peuvent être discrètes ou continues ou à la fois discrète et continue. Il postule que les valeurs qu'un opérateur peut supposer qu'ils sont tous et que son valeurs propres. Cela implique qu'une fonction d'onde doit également contenir les informations des valeurs propres d'une observable. Cela doit être exprimé en une superposition de (en général) par un opérateur infini été déduit et qui contiennent des informations sur les valeurs que l'opérateur lui-même peut prendre. C'est, depuis un opérateur nous devons être en mesure de trouver ses valeurs propres et par conséquent indique également que chaque valeur propre représente. Pour ce faire, vous devez résoudre l'équation aux valeurs propres:

Il est la valeur propre et sont les vecteurs propres représentant eigenstates ou fonctions propres système. Dans le cas de valeurs propres discrètes On peut classer les fonctions propres correspondants comme . En général, les fonctions sont définies dans un espace vectoriel complexe de dimension infinie de la mécanique quantique, qui est donc un exemple de espace de Hilbert, pour lesquels toutes les quantités sont à prendre un certain nombre de valeurs propres et fonctions propres donc infinies. Dans tous les cas, l'espace de Hilbert est le sens complet et séparable en mécanique quantique qu'il ya toujours un ensemble complet de fonctions propres. Dans ce cas, chaque fonction d'onde représentant le système peut être développé en termes de fonctions propres de certains opérateurs dans le cas discret:

Ils sont des coefficients complexes. L'interprétation de la fonction d'onde implique que les modules carrés des coefficients représentant une probabilité que la fonction d'état vous êtes nell'autostato et ces probabilités doivent être normalisées à 1:

Les coefficients sont déterminés automatiquement par le fait:

multipliant par son conjugué complexe:

vous obtenez:

à partir de laquelle:

en fait

Ils doivent être normalisées.

La valeur moyenne d'un opérateur

Compte tenu de la quantité physique représentée par un opérateur , nous pouvons résoudre l'équation pour déterminer les valeurs propres et les fonctions propres correspondantes. De plus, grâce à ces que nous pouvons développer la fonction d'onde en termes de fonctions propres de cet opérateur et la normalisation afin qu'il représente une chance. Dans la pratique, si l'on mesure A on peut éventuellement obtenir un de ses valeurs propres en fonction de la probabilité qu'il doit apparaître. Ensuite, la fonction d'onde représentant l'état physique à la suite d'une mesure de l'observable ci-dessous qui a été mis au point, doit être instantanément nell'autostato de cette observable, ce phénomène est connu sous le nom effondrement de la fonction d'onde et il est l'un des résultats surprenants de la mécanique quantique, aussi surprenant que cela est difficile à interpréter. Dans tous les cas, c'est l'un des postulats fondamentaux de la mécanique quantique: à la suite d'une mesure de la fonction d'onde s'effondre dans un état propre de certains observables avec une certaine probabilité. La seule exception est le cas où la fonction d'onde est déjà dans un état propre de certains observables pour lequel une mesure nouveau produit le même résultat avec la probabilité 1.

Nous pouvons également calculer la valeur moyenne un opérateur comprise comme la valeur moyenne opérateur correspondant. En fait, si Il est un opérateur et sont les valeurs propres discrètes alors:

comme que l'on voit ne dépasse pas la somme de toutes ses valeurs propres pondérés chacun avec la probabilité respective à apparaître. Les opérateurs de la mécanique quantique sont linéaires en fonction principe de superposition États et aussi nous avons besoin pour des raisons évidentes que toutes les valeurs propres d'un opérateur sont réels cela dicte que la valeur moyenne d'un opérateur est réel: cela exige que seuls les opérateurs hermitienne sont susceptibles de représenter des quantités observables dans la mécanique quantique.

cas continu

Toutes les considérations faites à ce jour dans le cas du spectre discret de valeurs propres d'un opérateur appliquent également dans le cas continu. Dans ce cas, chaque opérateur, qui a un spectre continu peut donner un développement de la fonction d'onde:

sont des coefficients qui ont le même sens si discret, sont les fonctions propres de l'opérateur . Cette fois, l'interprétation des coefficients de développement est ce que

représente la densité de probabilité que l'opérateur a une valeur entre fa et f + df. Les coefficients sont déterminés automatiquement:

une fois que les fonctions propres sont correctement normalisés:

où la fonction intervient Dirac, puis:

en fait . La valeur moyenne de l'opérateur est calculé:

Les opérateurs position et l'impulsion

Quelques exemples d'opérateurs de mécanique quantique qui ont un spectre continu de valeurs propres sont les opérateurs de emplacement et pouls. Il y a une symétrie entre l'espace des positions et l'espace des impulsions, où nous pouvons définir nos fonctions d'onde: il peut être vu à travers le calcul des valeurs moyennes.

  • Dans l'espace des positions:

depuis le 'Position de l'opérateur dans l'espace des positions est un opérateur trivial . Le calcul de la valeur moyenne de dans l'espace des positions, il est à la place:

  • Maintenant, nous allons dans l'espace de mouvement et calculer la valeur moyenne de :

à-dire qu'il est un opérateur trivial, alors que la valeur moyenne de :

fonction d'onde pour une particule libre

Par exemple, considérons une particule qui se déplace librement dans l'espace, avec certaines distributions de probabilité pour la position et la vitesse et supposons que pour mesurer la position, l'obtention d'une certaine valeur x. Ensuite, on peut prévoir qu'une mesure de position suivante (assez proche dans le temps) va certainement conduire au même résultat obtenu juste: la fonction d'onde est réduite en un point, en fournissant à ce point une certaine probabilité.

Le principe d'incertitude de Heisenberg conduit également à la notion d'incompatibilité observable: il est observable dans lequel des paires de la connaissance complète de l'un des deux conduit à l'absence totale de connaissance de l'autre. Dans le cas précédent, une mesure de position de porte à l'ignorance sur la vitesse. De même énergie sont incompatibles et l'intervalle de temps où l'énergie est échangée. Exprimé en d'autres termes, l'effondrement de l'onde associée à une fonction observable, conduit à une fonction de distribution uniforme, sur l'ensemble du domaine de définition, pour le observable conjugué à lui.

D'autres considérations

Comme pour tout fonction mathématique, la dérivé En fonction de la fonction d'onde ψ, définie, par exemple le long de l'axe des x en tant que , Elle exprime le degré de courbure. Pour un grand degré de courbure correspond haute énergie cinétique, Cela concorde également avec le rapport de de Broglie comme une courbe très faible est caractérisée par une fonction d'onde longueur d'ondes.

fonctions d'onde pour les différentes énergies sont orthogonal, qui est l'intégrale sur l'espace entier de leur produit est annulée:

en chimie quantique Il est utile d'exprimer la fonction d'onde dell 'électron, dont les solutions physiquement acceptables constituent le orbital, en fonction de Les coordonnées polaires r, θ et φ. De cette façon, il est possible de définir la fonction d'onde en fonction composite obtenu à partir de produit de deux fonctions différentes:

où R est le fonction d'onde radiale et Y fonction d'onde angulaire; n, l, m sont les ensembles de nombres quantiques qui définissent les solutions physiquement acceptables dell 'équation de Schrödinger.

bibliographie

  • Peter Atkins, Julio De Paula, Chimie physique, 4e éd., Bologne, Zanichelli, Septembre 2004 ISBN 88-08-09649-1.
  • Lev D.Landau; Evgueni M. Lifsits, la théorie de la mécanique quantique n'est pas relativiste, Rome, Editori Riuniti, II édition Mars de 1994.

Articles connexes




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