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L 'équation de Dirac est le 'équation d'onde qui décrit de manière relativiste invariante le mouvement de la fermions, dans le cadre de ce qu'on appelle mécanique quantique relativiste.

Elle a été formulée en 1928 de Paul Dirac pour tenter de surmonter les problèmes engendrés par 'équation de Klein-Gordon (La formulation immédiate de relativiste 'équation de Schrödinger), Qui présente une difficulté dans l'interprétation des wavefunction, conduisant à densité de probabilité qui peut aussi être négatif ou nul, en plus d'admettre des solutions énergie négatif.

L'équation de Dirac décrit les particules à travers un spinoriel Il a composé de quatre fonctions d'onde (Dirac spinoriel), Prolongement naturel du spineur à deux composants non relativiste. Ce fut une étape clé vers une théorie unifiée des principes de la mécanique quantique et relativité restreinte, permettant de définir un densité de probabilité positive. Elle a également permis d'expliquer structure fine spectre dell 'un atome d'hydrogène et gyromagnétique dell 'électron.

Même l'équation de Dirac admet des solutions d'énergie négative. Dirac a postulé l'existence d'un mer infini de particules qui occupent ces états d'énergie négative. Après le développement du théorie quantique des champs les états d'énergie négative ont été identifiés avec antiparticules, avec l'introduction d'une nouvelle nombre quantique (Qui est une pour les particules et -1 pour les antiparticules), en vue de résoudre certains paradoxes origine de l'hypothèse de mer Dirac.

équation de Klein-Gordon

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: équation de Klein-Gordon.

L 'équation de Klein-Gordon Ce fut la première tentative de faire relativiste 'équation de Schrödinger. Toutefois, l'équation de Klein-Gordon admet interprétation probabiliste naturel, en plus de ne pas considérer une des caractéristiques fondamentales d'une particule quantique, ou la tourner.

définition

L 'équation de Klein-Gordon, qui décrit le mouvement des particules scalaires (avec tourner nul), il est né de la nécessité d'entrer dans le formalisme des relativité restreinte dans le la mécanique quantique, puis réécrire la notation covariant l 'équation de Schrödinger:

avec

Pour obtenir un "équation quantique relativiste pour le mouvement d'une particule libre, on peut procéder en remplaçant l'expression non-relativistes pour l'opérateur énergie cinétique:

l'expression relativiste pour l'énergie totale (qui prend en compte l'opérateur énergie cinétique et masse au repos):

Vous pouvez alors simplement essayer de quantifier les opérateurs d'une manière similaire à ce qui a été fait avec l'équation de Schrödinger:

mais, quand vous allez remplacer l'impulsion l 'opérateur nabla, vous êtes face à la racine carrée un opérateur.

Pour remédier à cet inconvénient, il est donc nécessaire de proposer une sorte de carré de la dernière équation:

que l'opérateur explicite de l'énergie et de l'opérateur de mouvement, devient:

Écrit pour la première fois par Klein-Gordon, en notation covariant assume une forme très compacte:[1]

En définissant le 'Opérateur de Alembertiano tels que: l'équation est réécrit:

De l'équation de drawbacks Klein-Gordon

Le Klein-Gordon avantage de l'équation de est de traiter temps et espace en fonction de la géométrie de l'espace de Minkowski, tandis que l'opérateur de Alembertiano se révèle être un invariant pour une transformation de Lorentz. Cependant, il y a en revanche, certains inconvénients. Tout d'abord, en tant que solution de cette équation, il peut également exister des états d'énergie négative et l'interprétation probabiliste wavefunction Il est problématique.

Selon 'interprétation de Copenhague, en fait, la forme cadre de la fonction d'onde représente la densité de probabilité:

et vous devez avoir la certitude de trouver la particule si l'on considère tout l'espace, à savoir l'intégrale de la densité de probabilité doit être égale à un

La densité satisfait non seulement la condition de normalisation, mais aussi équation de continuité. La probabilité de trouver la particule dans un volume donné, cependant, l'espace doit être invariant relativiste: tandis que dans l'expression ci-dessus il tourne, le volume Il n'est pas invariante par les transformations de Lorentz.

Il est une densité de probabilité peut alors présenter:

comme composante temporelle d'un vecteur à quatre

qui satisfait l'équation de continuité

.

Cependant la densité ρKG Il est pas toujours définie positive, mais il peut aussi être négatif ou rien, étant donné qu'il est plus liée à la norme d'un vecteur dans l'espace de Hilbert comme dans le cas de l'équation de densité de probabilité Schrödinger non relativiste dérivée.

Avant de comprendre que cette équation a été utile pour décrire les particules à un nombre entier de spin, Dirac est inquiétant de réaliser l'équation relativiste quantique qui ovviasse, dans la mesure du possible les inconvénients provoqués par le Klein-Gordon, obtenant enfin le tout aussi célèbre équation de Dirac.

Note pour les bosons massifs tourner 1, les équations de champ sont décrites par Proca lagrangien.

équation de Dirac

formulation mathématique

Nous utilisons la notation:

et unités naturelles ().

Dirac, à partir de 'équation de Klein-Gordon:

Il propose une sorte de racine carrée de ce dernier.

Supposons que, en fait, vous pouvez envoyer des messages:

(Nous avons utilisé dans le deuxième membre notation Einstein et la convention selon laquelle les lettres i, j, k indique des sommations de 1 à 3 pour les composantes spatiales)

dont le carré donne:

faire les calculs que nous obtenons

, et m sont des nombres, commuer donc avec toutes les quantités dans l'équation, nous obtenons

(Dans la dernière étape, nous avons utilisé la définition de anticommutatore et le fait que le produit de deux tenseur peut être écrit comme la moitié du commutateur somme anticommutatore)

le tenseur Il est symétrique, pour cela annule l'interrupteur reste donc

Cette égalité conduit à certaines conditions sur les coefficients:

Il est donc évident que ces coefficients sont en fait matrices et non numéros. Le premier choix pourrait être le matrices de Pauli, qui, cependant, sont trois, tandis que les matrices à déterminer sont 4. Il peut suggérer, puis, pour créer une matrice de base composée par les trois matrices de Pauli avec l'ajout de 'identité: Ceci est une base complète pour l'espace de 2 x 2 matrices, mais si vous mettez par exemple β=la, Vous peut se produire, par exemple, αxβ + βαx = 2αx= 0, mais cela est impossible, parce que la matrice αx Il est certainement rien. Pour pallier cet inconvénient, il est alors nécessaire de passer à une plus grande taille, la construction de 4 x 4 matrices. Ceux qui ont choisi de Dirac (représentation chirale des matrices γ):

puis placer:

l'équation est écrit avec gamme ou matrices de Dirac:

tandis que la est le 'unité imaginaire.

De cette façon, l'équation du mouvement des solutions sont transporteurs quatre composantes: une solution spéciale est appelée Dirac spinoriel. En outre, la densité de probabilité, de cette façon, il est toujours positif:

Ils peuvent cependant éliminer les énergies négatives, qui restent donc possibles comme valeurs propres de l'équation. Pour interpréter ce résultat de l'équation, Dirac a proposé de donner l'impression qu'il ya une mer de fermions dont certains sont dans un niveau excité, et ont donc une énergie positive, mais dans une mer existent lacunes qui, par conséquent ils sont à l'énergie négative; lorsqu'une particule dans un état excité répond à un écart, voici qui tombe dans un état non excité d'émettre un rayonnement électromagnétique (un phénomène similaire à l'excitation de l'atome dans lequel un électron tombe dans un niveau d'énergie de moins d'énergie émettant un photon, à condition que le nuage d'électrons de l'atome existe un écart). Ce phénomène est très similaire à 'anéantissement d'une particule par uneantiparticule comme par exemple l 'anéantissement d'un électron avec un positron, avec émission consécutive de deux photons, qui peut être décrite par l'équation de Dirac, où le antiparticle est décrit par la solution de l'équation de Dirac avec une énergie négative. Donc, dans un sens, on peut dire que Dirac prédit l'existence de l'antimatière et le phénomène d'annihilation avec la matière, bien que ses idées sur l'existence de la mer de fermions ont été rejetées par la communauté scientifique parce qu'elle a conduit à contradictions internes à la théorie.

Dirac Propriétés hamiltonien

Le hamiltonien de Dirac pour une particule libre, , ne passe pas moment angulaire orbital et même avec le moment angulaire du spin. Cependant, il commute avec l'opérateur moment cinétique total et avec l'opérateur de helicity.

Commutation avec le moment cinétique orbital

Le moment angulaire orbital peut être écrit Nous pouvons réécrire la composante i-ème du moment que , dans cette expression est la notation Einstein et Il est le tenseur complètement antisymétrique (ou tenseur des Levi-Civita) Pour trois indices (i, j, k).

Nous calculons la interrupteur avec une composante du moment cinétique:

Dans la dernière étape, nous avons utilisé les propriétés suivantes du commutateur .

Toutes les quantités dans les équations sont des opérateurs, de sorte que la commutation n'est pas immédiat.

Le second terme est nul depuis Il est pas dans la même espace de Hilbert r et p dans l'espace, ou pour être plus strictes, avec le terme r et p est multiplié par une matrice d'identité et commute ensuite avec lui-même.

Le premier terme, exploitant les propriétés du commutateur, peut être écrit

Les mêmes arguments utilisés pour nous pouvons elide le second terme.

restes

où nous avons expliqué l'écriture du moment angulaire. Avec l'astérisque sur nous montrons que nous n'utiliserons la notation Einstein pour ce symbole et ses index, mais se poursuit encore pour tous les autres symboles et indices pertinents.

Le signe moins vient du fait que le tenseur antisymétrique dans un tel cas serait positif et l'autre négatif, nous ne nous soucions pas lequel des deux, étant donné que le choix approprié du tenseur en tant que facteur commun rectifie le signe.

Utilisation de l'antisymétrie du commutateur nous pouvons écrire:

Maintenant, nous rompons les commutateurs comme avant:

Nous utilisons le maintenant les relations de commutation et . Effectuer des calculs

Maintenant, nous voyons que le dernier terme, nous soustrayons les indices qui inverse, cela équivaut à la somme des indices répétés sur le tenseur Levi-Civita.

Le commutateur est alors recherché:

Par exemple on calcule:

Cette volonté:

Commutation avec le moment angulaire de spin

Le hamiltonien de Dirac ne commute avec le moment angulaire de spin.

La composante k-ième moment angulaire de spin peut être écrit comme matrice de bloc

Rappelant les règles de commutation matrices de Pauli nous pouvons écrire

(Pour apporter le premier élément on multiplie les deux côtés pour tenseur des Levi-Civita, En outre, nous précisons qu'il ne faut pas appliquer notation Einstein)

En remplaçant dans la matrice nous trouvons

Nous partons dans la suspension du calcul et d'en tirer le commutateur

nous constatons que nous donne tout à fait la matrice précédente

On trouve donc la définition du moment angulaire de spin écrite par des matrices

Maintenant, nous calculons le commutateur

Pour effectuer ces calculs, nous avons utilisé la règles de commutation. Dans le cadre de la prochaine, nous allons utiliser ces égalités qui découlent directement des matrices anticommutateurs

Nous écrivons explicitement le Dirac hamiltonien

Pour plus de clarté, nous devons diviser le dernier mandat de quatre membres et procéder séparément. On calcule le premier terme

Rappelons que est un nombre parce qu'elle est la composante d'impulsion de rang n, de sorte que son commutateur à matrice est égal à zéro. Pour d'autres commutateurs, nous utilisons les règles de commutation énumérées ci-dessus

Nous calculons le second terme

Nous calculons le troisième terme

Nous calculons le quatrième terme

Maintenant, nous rajoutons tous les termes

Nous développons les supports et réarranger les termes

Les termes avec delta sont simplifiées parce égale et opposée à l'autre, ce qui reste peut être réécrite comme

Maintenant, pardonnez le résultat du calcul fait jusqu'à présent dans le commutateur à partir de laquelle nous avons commencé, nous obtenons

A savoir l'application du delta obtenir le commutateur recherché

En utilisant la notation Einstein peut être réécrite comme

En conclusion, le moment angulaire de spin ne change pas avec le Dirac hamiltonien.

Commutation avec le moment cinétique total

Le Dirac hamiltonien commute avec le moment cinétique total.

Les calculs effectués dans les paragraphes précédents, nous voyons que nous avons pour le moment angulaire orbital

tandis que celle de rotation

Nous devons d'abord mettre le même indice pour les deux notations. Nous changeons de tourner, pour le rendre pratique pour déplacer l'index k pour chaque tenseur de permutation change de signe, mais comme il fait le signe deux fois reste la même.

Notez que maintenant, même si les lettres ne correspondent pas (mais il n'a pas d'importance parce qu'ils sont des indices muets), ils occupent les mêmes positions, puis les deux entrées sont identiques, ou

Notre moment angulaire à maintenir doit être

De cette façon, le commutateur sera avec H

qui est identiquement nulle pour chaque composant.

bibliographie

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liens externes

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