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Remarque disambigua.svg homonymie - « ARME » voir ici. Si vous êtes à la recherche d'autres utilisations, voir ARMA (désambiguïsation).

la mobile autorégressive modèle moyen, Il a dit aussi ARMA, Il est un type de modèle mathématique linéaire qui fournit instant par instant, une valeur de sortie sur la base des entrées précédentes et les valeurs de sortie. parfois appelé modèle Box-Jenkins du nom de ses inventeurs George Box et Gwilym Jenkins, Il est utilisé dans statistiques pour étudier séries chronologiques données et systèmes d'ingénierie en particulier dans la modélisation systèmes mécanique, hydraulique ou électronique.

traits

Elle estime que le système soit décrit comme étant une entité qui, instant par instant, reçoit une valeur d'entrée (entrée) et génère une sortie (output), calculée sur la base des paramètres internes qui varient à leur tour par les lois linéaire. Chaque paramètre interne, sera donc à chaque instant égale à un combinaison linéaire de tous les paramètres internes instant précédent et la valeur entrante et la valeur de sortie seront à leur tour une combinaison linéaire des paramètres internes et dans de rares cas aussi de l'arrivée; Dans ce cas, nous parlons de modèle incorrect, dont la principale caractéristique est de répondre instantanément aux variations d'entrée et donner lieu à des anomalies dans le calcul si elle était reliée à l'anneau avec d'autres systèmes inappropriés.

Algébriquement, les valeurs d'entrée et de sortie à un instant donné sont deux scalaires et les paramètres internes forment un vecteur. La sortie scalaire est le produit entre le vecteur de paramètres et d'un vecteur fixe faisant partie de l'égal au nombre de paramètres du modèle et dimension , entrée supplémentaire multipliée par un coefficient que dans les systèmes inappropriés est différent de 0. Le vecteur de paramètres est à chaque instant calculé comme la somme de l'entrée scalaire pour un support et le vecteur de paramètre précédente multiplié par une matrice .

linéarité

Un modèle ARMA a plusieurs caractéristiques qui le rendent facile à analyser:

  • linéarité: On multiplie les valeurs d'entrée pour un facteur k aussi la production est multipliée par cette valeur. En résumé deux séquences d'entrée que vous les valeurs seront obtenues en sortie la somme des séquences de sortie qui auraient été obtenus en fournissant les deux quelle que soit l'entrée.
  • temps invariance: Une certaine séquence d'entrée donne une certaine séquence en sortie quel que soit le nombre de secondes écoulées à partir de l'instant zéro. Le même concept de « zéro moment » est purement conventionnel que le système a tendance à « oublier » le passé, qui doit être influencé de manière décroissante de façon exponentielle au fil du temps (fonction appelée « Evanescence »).

Compte tenu d'une série chronologique des valeurs , le modèle ARMA est un outil pour analyser et prédire les valeurs futures et se compose de deux parties, à savoir une partie autorégressif (AR) et une partie de moyenne mobile (MA). Le modèle est généralement indiqué par ARMA (p, q) où p est l'ordre de la partie autorégressive et q est l'ordre de la partie moyenne mobile.

Version discrète et continue

Bien que le modèle vient d'être décrit est discret, par exemple agit « saccadé » à temps des instants dénombrables N, vous pouvez très facilement obtenir la version continue. Dans ce cas, la matrice ne contiendra pas les combinaisons linéaires qui fournissent un paramètre en fonction des autres, mais ceux qui fournissent les dérivé d'un paramètre en fonction des valeurs des autres. Il est possible de se rapprocher d'un motif continu avec un modèle discret en supposant choisir un intervalle de temps entre un instant et l'autre assez petit pour négliger l'approximation. En règle générale, selon la théorème de Shannon, vous devez choisir un taux d'échantillonnage qui est au moins le double par rapport aux fréquences concernées.

Description à l'aide de la fonction de transfert

Appel u (t) la fonction qui décrit les valeurs d'entrée en fonction du temps y (t) la fonction qui représente la sortie, sachant que le modèle ARMA a une sortie qui est une combinaison linéaire des valeurs d'entrée précédentes et sortie est calculée y (t) en tant que:

tandis que dans le cas d'un système continu a

ce dérivé devient:

Il est donc de la somme d'un terme autorégressif AR constitué par la partie des coefficients et une partie de la moyenne mobile des coefficients MA .

Il est possible d'introduire un opérateur de retard (Écrit Habituellement pour les systèmes continus), qui a pour but de retarder ou d'avancer une valeur, à savoir

et donc réécrire le modèle en tant que

et recueillir y (t) dans le premier élément pour obtenir une fraction

Cette représentation du modèle est appelé Fonction de transfert.

propriété

L'avantage des modèles ARMA est qu'ils peuvent être analysés avec une grande facilité par rapport à d'autres modèles, tout en maintenant une approximation de niveau relativement bas. Un système continu, en particulier, serait un système d'équations différentielles sont difficiles à traiter sans tenir compte de la matrice A.

l'analyse de la valeurs propres de la matrice A, il est possible de déterminer si le système est stable ou moins, qui est, si la valeur de sortie peut avoir tendance à des valeurs infinies pour certaines recettes fini. Plus précisément:

  • si tous les valeurs propres ont une partie réelle négative (ou module inférieur à 1 dans le cas des systèmes à temps discret), le système est asymptotiquement stable
  • si quelques-uns valeur propre a une partie réelle positive (ou module supérieur à 1 dans le cas du temps discret), le système peut avoir une sortie qui tend à des valeurs infinies (positif ou négatif)
  • S'il y a des valeurs propres avec rien de réel partiel (ou avec le module unitaire dans le cas du temps discret), le système peut maintenir un rien de sortie indéfiniment, même si l'entrée est rien après quelques valeurs initiales.
  • stationnarité toujours stationnaire
  • inversible si toutes les caractéristiques ont une moyenne supérieure à 1 se produit parce que le processus d'écriture en fonction de son histoire passée je ne peux prédire

En outre, plus la partie réelle des valeurs propres et plus rapide, le système tend à se stabiliser, et vice versa est la plus grande partie réelle et plus rapide les valeurs de sortie du système aura tendance à rester debout ou assis.

Vous pouvez également obtenir des informations de la partie imaginaire, surtout si certaines valeurs propres ont une partie imaginaire rien la sortie aura tendance à osciller avec une fréquence proportionnelle à la valeur imaginaire et une amplitude qui diminue ou augmente avec la vitesse exponentielle et proportionnelle de coefficient à la partie réelle des valeurs propres.

Modèle systèmes composés

Vous pouvez utiliser la sortie d'un modèle ARMA comme une entrée d'un autre modèle, éventuellement en additionnant les résultats de plusieurs modèles, en les multipliant par des constantes arbitraires et en créant des anneaux (c.-à-mettre à lui-même une sortie de modèle entrant), l'obtention ARMA un système équivalent à la composition des modèles plus simples. Vous pouvez facilement modéliser un modèle comprenant les règles suivantes:

  • Deux ou plusieurs modèles en parallèle ont une fonction de transfert globale qui est la somme des fonctions respectives.
  • Deux modèles de la série ont un IFD totale qui est le produit de l'IFD respectif
  • Un modèle multiplié par une constante a une FdT multipliée par la constante
  • Un modèle de réaction (à savoir, dont l'entrée est reliée à la sortie) a FdT égal à

où f (t) est la TDC et g (t) est une fonction de courrier le long de la boucle de rétroaction (si elle est absente est égal à 1), alors r (t) est la TDC du système de composé

ARMA comme MA (∞)

Il est manifeste que tout processus stationnaire ARMA peut être exprimée de manière équivalente comme Modèle moyenne mobile MA (∞) de type. Analytiquement, il suffit de calculer récursive les valeurs de ou avec k> 0 en les remplaçant par les valeurs de l'entrée. Intuitivement, il suffit de penser que la sortie dépend des valeurs précédentes d'entrée et de sortie même, mais celle-ci dépend encore une fois des valeurs d'entrée précédentes et de la production et en procédant en arrière l'influence des sorties précédentes deviennent asymptotiquement moins influents sortie de courant.

bibliographie

  • George Edward Pelham Box, et Gwilym Meirion Jenkins, Analyse des séries temporelles: Prévision et contrôle, Holden-Day, 1979.
  • P. Barone, A. Guspini,Comparaison entre la performance numérique de trois algorithmes pour l'estimation des paramètres ARMA modèles unidimensionnels: le cas de MA (1), Rome, Institut des applications informatiques, "Mauro Picone", Conseil national de recherches, 1983
  • Estela Bee Dagum, L'analyse des séries chronologiques: la modélisation, la prévision et la répartition, ISBN 88-470-0146-3, Springer, 2002

Articles connexes




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