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en topologie, un compactifié est un processus par lequel un espace topologique Il est étendu de façon à faire compact. Cette opération peut être obtenue par des méthodes différentes, en fonction des propriétés qui sont nécessaires pour l'espace compact que vous voulez atteindre; chaque méthode de compactifié conduit généralement à obtenir des espaces différents à partir du même espace initial. Le compactifié d'un espace vous permet d'utiliser les nombreuses propriétés des espaces compacts, qui parfois il est possible de déduire les propriétés des espaces de départ.

Types de compactification

Intuitivement, toutes les méthodes de compactification sont basées sur le principe de contrôle de la « échapper à l'infini » est typique des espaces non compacts, pour lesquels il y a toujours un couverture ouvert qu'il est impossible en raison d'un revêtement fini; compactifié des techniques habituelles de contrôle de cette évasion en ajoutant convenablement des « points à l'infini », immergeant la surface d'attaque à un autre espace compact pour former un sous-espace épais.

Compactifications d'intérêt particulier sont ceux dans lesquels l'espace compact que vous obtenez est Hausdorff; puisque chaque espace est aussi compact Hausdorff Tychonoff, et chaque sous-espace d'un espace Tychonoff est également Tychonoff, il en résulte que chaque espace qui possède une Hausdorff compactification doit être Tychonoff; De plus, en utilisant la compactification Pierre-Čech prouve aussi le contraire, à savoir que chacun d'espace Tychnoff a une compactification Hausdorff.

Compactification de Alexandroff

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Compactification de Alexandroff.

Le compactifié Alexandroff est la forme la plus simple de compactifié d'un espace topologique. Elle est obtenue en ajoutant au même espace que d'un seul point, ledit point à l'infini et compte tenu de la façon dont ouvert tous les ensembles qui contiennent le point à l'infini et dont complémentaire Il est compact.

Pierre-Čech compactification

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Pierre-Čech compactification.

Étant donné un espace topologique Tychonoff, la compactification de Pierre-Čech est caractérisé par des propriétés universelles pour lesquelles chaque fonction continue Elle peut être prolongée d'une manière unique à une fonction continue . aussi Il est aussi le plus grand espace dans lequel vous pouvez étendre ; En ce sens, le plus grand compactification de compactifié Pierre Čech est possible dans un espace donné, par opposition à celle de Alexandroff, qui est aussi faible que possible.

Compactification la ligne réelle

la droit réel, avec la topologie ordinaire dérivée de métrique euclidienne, Il est un espace compact, comme illimité; le compactifié Alexandroff de la ligne droite est obtenue par addition d'un point à l'infini , qui devient la limite normale succession Réel, sous forme, elle tend vers l'infini.

L'espace compact ainsi obtenu est homéomorphe un circonférence. Le homéomorphisme est obtenu de la manière suivante: une origine fixe sur la circonférence, chaque autre point de la circonférence est identifié par "coin le centre qui a le point extrême et l'origine, avec la convention pour exprimer les angles de radieux dans 'intervalle ouvert ; la correspondance

homéomorphisme est demandée; il fait correspondre chaque point de la circonférence en un point de la ligne droite, à l'exception du point correspondant , pour lequel la fonction tangent Il ne se définit pas, qui est associé au point à l'infini.

Intuitivement, ce compactifié correspond à « réduire » la ligne droite faisant coïncider avec l'intervalle , puis de coller les extrémités de la plage en ajoutant le même point à l'infini. L'espace obtenu est également homéomorphe à espace projectif

Un autre compactification de la ligne droite est obtenue en ajoutant deux points à l'infini, et ; l'espace compact que l'on obtient dans ce cas intervalle fermé homeomorphic .

projectifs et espaces euclidiens espaces

Comme on le voit ci-dessus, l'espace projectif est le compactifié de la ligne réelle; plus généralement, l'espace projectif On peut voir que la compactification du espace euclidien . Le compactifié est obtenu en ajoutant à chaque direction en (Identifié par une paire de versors contraires) un point à l'infini. Sauf dans le cas , Ce compactifié n'est pas Alexandroff.

Il est également possible compattificare espaces complexes; compactification Il est l'espace projectif complexe , qui est identifié avec le sphère de Riemann.

L'utilisation des espaces projectifs est très courante dans la géométrie algébrique, car l'ajout des points à l'infini, il est plus facile pour la formulation de nombreux théorèmes; par exemple, deux lignes droites ne coïncident pas dans le plan projectif toujours coupent en un point, contrairement à la droite parallèle la plan euclidien.

Avec les éclaircissements nécessaires, peut être généralisé l'espace projectif aussi anneaux équipé de la topologie: par exemple, l'anneau quaternions Il peut être compacifiée par sa ligne projective, qui est homéomorphe à .

Articles connexes

  • projection stéréographique, pour le compactifié à un point de et

liens externes