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en topologie, un espace topologique disent-ils Première dénombrable si elle répond à la première dénombrable, qui est, si chaque point admet un système fondamental des quartiers dénombrables.[1][2]

propriété

L'une des propriétés remarquables d'un espace topologique X Première dénombrable est que, pour chaque sous-ensemble A, un point x appartient à sa fermeture si et seulement s'il existe une séquence de points de A qui converge vers x. Cette constatation a des implications sur les concepts limites et continuité. En particulier, si fa est une fonction dont le domaine est un espace de première dénombrable X, puis fa Il admet une limite L le point x si et seulement si pour chaque séquence xnx, où xnx pour chaque n, vous avez fa(xn) → L. De plus, fa Il se poursuivra en x si et seulement si pour chaque séquence xn convergent x, la succession de points d'image fa(xn) Convergent vers fa(x).

Dans les espaces premiers dénombrable, les propriétés de compacité séquentielle et compacité dénombrable sont équivalentes. Cependant, il y a espaces topologiques compact et dénombrable successions compact qui ne sont pas compact (Ces espaces ne peuvent pas être des espaces métriques). Un exemple d'un espace topologique avec ces caractéristiques est l'espace ordinal [0, ω1) Avec la topologie ordonnée. Chaque espace topologique premier dénombrable est un espace généré de manière compacte (c. l'espace k).

chaque sous-espace topologique un espace topologique Tout d'abord dénombrable est le premier dénombrable. Le produit d'espaces topologiques premier dénombrables dénombrables est un premier espace dénombrable.

notes

  1. ^ Sernesi, E., p. 16
  2. ^ Manetti, M., p. 103

bibliographie

  • Marco Manetti, topologie, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
  • Edward Sernesi géométrie 2, Turin, Bollati Basic Books, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

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