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en topologie, une fonction est ouvert si l'image de chaque ouverture est ouverte. Plus formellement, une fonction entre espaces topologiques est ouvert si pour chaque ouverture de son image Il a ouvert en .[1]

propriété

La définition de la fonction ouverte est similaire à celle de fonction continue (= La controimmagine de chaque ouverture est ouverte). Bien qu'il semble plus naturel de parler des images de counterimages, les fonctions ouvertes sont la topologie (et les mathématiques en général) beaucoup moins importante que les fonctions continues.

Dans la plupart des cas, il est nécessaire de démontrer qu'une fonction est ouverte dans le but de vérifier qu'il est homéomorphisme. En fait, entre espaces topologiques est un homéomorphisme si et seulement si les hypothèses suivantes:

En fait, si est bijective, son inverse est continu ssi Il est ouvert. De plus, si est bijective, une fonction est ouverte si et seulement si elle est fermée. Il est souvent plus facile de prouver qu'il est fermé.

Exemples

La projection du plan euclidien sur l'un des deux axes est ouvert. En général, la projection d'un espace euclidien sur un sous-espace (avec topologie du sous-espace) Est ouvert.

la parabole par date n'est pas ouvert, parce que l'image en plein air Il est l'intervalle .

Il bigettive pas ouvert et des fonctions continues. Par exemple, prendre une correspondance parmi les entiers et nombres rationnels . parce que a la espace discret, la Il est continue. D'autre part, ne pas l'espace discret, et donc la Il ne peut pas être ouvert. Il existe également des exemples de fonctions bijectives et continues définies, mais pas ouvert sur un espace connecté, par exemple .

Faits et théorèmes

  • La projection d'un espace produit sur l'un de ses facteurs est ouvert.
  • en analyse complexe, la Le théorème de la fonction ouverte affirme que tous les fonction holomorphe pas constante définie sur une ouverture lié de Il est ouvert.
  • Le domaine théorème d'invariance affirme qu'une fonction continue injective et localement entre deux topologique variété de même taille (par exemple, ) Est ouvert.
  • Une fonction continue et bijective de en Il est ouvert, il est donc un homéomorphisme.

notes

  1. ^ M. Manetti, p. 45

bibliographie

  • Marco Manetti, topologie, Springer, 2008 ISBN 978-88-470-0756-7.

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