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en topologie, la Tychonoff espaces et espace complètement régulier sont les espaces topologiques satisfaisant certaines conditions de régularité, y compris parmi les axiomes de séparation. Ces conditions sont nécessaires à la démonstration de divers théorèmes et sont caractéristiques d'une grande partie des espaces topologiques couramment utilisés dans l'analyse. Les espaces Tychonoff sont nommés d'après le mathématicien russe Andrej Nikolaevic Tikhonov.

Dans ce qui suit décrit les propriétés des espaces complètement régulières des espaces Tychonoff. Il convient de noter que certains auteurs utilisent des définitions différentes à ces dates, ou d'envisager un terme comme synonyme de l'autre, ou avec des significations inverses de ceux indiqués.

définition formelle

Un espace topologique il est dit entièrement ajusté si et seulement si les données ensemble fermé et un point qui n'appartient pas , il y a un fonction continue de la ligne réelle de telle sorte qu'une valeur de 0 à () Et l'un des (. Il dit aussi que et Ils sont séparés par une fonction.

Un espace est dit Tychonoff si elle est tout à fait régulière et Hausdorff. Les espaces Tychonoff sont également appelés espace T3 ½, espaces Tπ, ou complètement les espaces T3.

Exemples

Parmi les espaces complètement réguliers, vous pouvez compter le groupes topologiques, tandis que les espaces sont Tychonoff espaces métriques et topologique variété.

la Le plan de Moore est un espace Tychonoff qui ne fait pas partie l'espace normal.

Propriétés de conservation

L'une des caractéristiques les plus utiles des espaces complètement réguliers et Tychonoff est que leur structure est préservée des opérations topologiques les plus courantes; par exemple, tous les sous-espace un Tychonoff espace (ou complètement régulière) est encore Tychonoff (ou complètement lisse), ainsi que leur espace produit. Ce sont également les propriétés opposées: si un espace de produit est Tychonoff (ajusté entièrement), est ainsi chaque facteur.

Comme tous les axiomes de séparation, la structure de ces espaces ne sont pas conservées par l'opération de quotient.

des espaces complètement réguliers et des fonctions continues

La topologie d'un espace complètement régulier Il est complètement déterminé par tous des fonctions continues sur et par tous des fonctions continues limité sur ; la régularité complète d'un espace [X] est en fait équivalente à chacune des propriétés suivantes:

  • a la topologie induite par ou ;
  • chaque ensemble de fermeture Vous pouvez être écrit comme l'intersection des familles zéro-ensembles de (À savoir la forme des zéro-ensembles de base pour la fermeture );
  • les cozero-ensembles sont un base pour la topologie .

Étant donné un espace topologique , il est possible de lui associer de manière canonique un espace complètement régulier , en utilisant la topologie généré par cozero-ensembles en . Avec cette construction, chaque fonction continue Il est continue sur . En outre, l'ensemble des fonctions continues est la même dans les deux topologies: ; Cela implique qu'il suffit d'étudier les anneaux et que sur les espaces complètement réguliers.

espaces complètement lisses et uniformes espaces

La régularité complète est une condition nécessaire à un espace possède une structure uniforme (Que vous pouvez définir un certain nombre de propriétés liées à continuité uniforme des fonctions); aussi chaque espace complètement régulier est uniformabile.

Tychonoff espaces et plongée sous-marine

Chaque espace Tychonoff peut être immergé dans un espace compact Hausdorff; en particulier, il est possible trempette Tychonoff espace dans un cube de Tychonoff (ou d'un produit, éventuellement infinie d'intervalles unitaires [0,1]); parce que chaque cube est aussi un espace Tychonoff vaut la caractérisation suivante:

  • un espace est Tychonoff si et seulement si vous pouvez le tremper dans un cube.

Un cas particulièrement intéressant d'immersion est lorsque l'espace Tychonoff Il est plongé dans un espace compact ; dans ce cas, la fermeture de en est un compactifié de . La compactification aussi générale que possible est de Pierre-Čech, Il caractérise par la propriété que chaque fonction continue de dans un compact Hausdorff Elle peut être étendue unique à compactifié de Pierre-Čech .

bibliographie

  • (FR) Stephen Willard, topologie générale, Lecture, Addison-Wesley Publishing Company, 1970.