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en mathématiques, et plus précisément dans topologie, un espace régulier il est l'un espace topologique qui répond aux conditions suivantes axiome de séparation:

Pour chaque fermeture C de X, et pour chaque point x ne faisant pas partie C, existe un voisinage ouvert U de x et une ouverture V contenant C qui sont disjoints.

espace régulier
Un fermé et un point sont toujours contenus dans deux ouverts disjoints.

un espace T3 Il est un espace régulier qui est aussi T1. Cette condition est nécessaire pour que le T3 axiome impliquant les axiomes de séparation précédente T0, T1 et T2.

Dans les publications mathématiques, les deux définitions sont souvent échangées, en fonction de la période historique ou le goût de l'auteur.

Définition équivalente

Si X est T1, une condition équivalente consiste à demander que pour chaque élément x de X, et pour chaque ouvrir autour A de x, existe un autre autour ouvert W de x, de sorte que sa fermeture cl (W) Est contenu dans A.

Démonstration de l'équivalence

besoin

supposer X espace T3. Siano x appartenant à X et A un quartier ouvert. Dans ce cas, le complément de A, C, Il est un fermé et il est x, Par conséquent, les hypothèses de régularité existe un voisinage ouvert W de x et une ouverture V contenant C, disjoints. W alors il est contenu dans le complément de V, fermé K; passage à la fermeture respectifs a une relation similaire, c.-à-cl (U) Est contenu dans cl (K), Soit en K lui-même. En outre, le complément de V, K Il sera à son tour contenu dans le complémentaire C, qui il est juste A. donc W Il est ouvert autour de la x dont la fermeture est contenu dans A.

suffisance

Supposons qui applique la seconde condition. Siano C fermé X et x ne faisant pas partie C. la complémentaire C, en plein air A, Il est autour du point x, donc, par hypothèse il y a une ouverture U de x dont la fermeture est contenu dans A. La cl complémentaire (U) V, Il est donc ouvert contenant le complément de A, c'est précisément C, tandis que U lui-même est un voisinage ouvert de x séparée de V. donc X Il est régulier.

sujets connexes

  • T0 espace.
  • espace T1
  • espace Hausdorff, a également dit T2
  • l'espace normal (Voir pour T4)
  • axiomes de séparation.