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espace Hausdorff
Le cadre U et V séparant les points x et y

en topologie, un espace Hausdorff, Il a dit aussi espace séparé et souvent abrégé T2, il est l'un espace topologique dans lequel vous pouvez toujours pour deux points distincts ont été trouvées de intorni ouvert disjoints. Le nom est en l'honneur du mathématicien allemand Felix Hausdorff, 1868-1942.

La plupart des espaces considérés dans analyse mathématique les espaces sont Hausdorff, de sorte que Felix Hausdorff y compris l'axiome de séparation dans sa définition originale de l'espace topologique (1914). Plus récemment, cependant, il est avéré utile d'envisager des espaces non séparés.

définition

Un espace séparé est un espace topologique qui répond aux conditions suivantes axiome de séparation:

.[1]

Un espace Hausdorff est aussi un espace T1, il suffit de prouver que les points sont fermés. Mais cela est vrai parce qu'il ya des quartiers disjoints du point en question et l'ensemble complémentaire et donc le complémentaire est autour de chacun de ses points, il est ouvert et le seul point est fermé.

Exemples

la reals, avec la topologie ordinaire dans laquelle les ensembles ouverts sont exactement tous les syndicats arbitraires intervalles ouvert, est un espace Hausdorff: Etant donné deux nombres réels distincts x et y, xy, les deux = |x - y| / 2 moitié de la distance entre eux; puis les intervalles U =]x - d, x + [et V =]y - , y + [Les quartiers sont disjoints x et y.

Un argument similaire montre que tous les espace métrique, puis en particulier aussi chaque espace euclidien, est un espace Hausdorff: données deux points, nous considérons les sphères ouvertes autour de ces points avec un rayon égal à la moitié de la distance entre eux; la inégalité du triangle Il veille à ce que les deux sphères sont disjoints.

Tous les espaces topologiques sont Hausdorff: simple est donnée par contre-un espace d'au moins deux points X équipé de la topologie triviale {∅, X}. Un contre plus intéressant est le topologie de Zariski en la géométrie algébrique.

notes

  1. ^ W. Rudin, Pg 36.

bibliographie

  • Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970 ISBN 0-07-054234-1.

Articles connexes

  • espace localement compact
  • axiome de séparation
  • T0 espace et espace T1
  • espace régulier
  • espace compact