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ensemble ouvert
points la plan cartésien satisfaisant à la relation former un circonférence ici dessinée en bleu ayant le centre à l'origine des axes cartésiens et le rayon . Les points tels que Ils sont indiqués en rouge. La partie montrée en rouge sous la forme d'un ensemble ouvert, alors que le syndicat des points indiqués en rouge et en bleu ceux est un ensemble fermé.

Le concept de ouvert Il est en mathématiques dans de nombreux domaines et avec différents degrés de généralité. Intuitivement, un ensemble Il est ouvert s'il est possible de se déplacer suffisamment un peu dans toutes les directions de chaque point de l'ensemble sans laisser tous les mêmes. En fait, selon les définitions générales, vous pouvez supprimer assez intuitive idée; par la définition d'ensemble ouvert peut être défini des concepts tels que « près », « bien », « attaché », « séparée »; définitions non intuitives d'ensembles ouverts correspondent à des situations mathématiques où ces concepts sont utilisés de manière non intuitive.

espaces topologiques

la topologie Il est le contexte plus général dans lequel ils répondent aux ensembles ouverts; dans ce contexte, le concept de jeu ouvert est considéré comme fondamental; a pris un ensemble X, le cas échéant collection T de sous-ensembles X satisfait les propriétés décrites ci-dessous, X devient espace topologique, T X est appel et ensembles topologie T, par définition, son ouverture.

Parce que le T de collection est une topologie doit être vraie:

  1. l 'union un ensemble arbitraire d'ensembles T Il est encore un ensemble de T
  2. l 'intersection un nombre ensembles finis de T Il est encore un ensemble de T
  3. tous X et l 'ensemble Appartiennent à vide T

L'espace topologique est indiqué en spécifiant la paire (X,T). Notez que lorsque vous considérez le même ensemble X avec deux topologies différentes T et T ', Nous avons deux espaces topologiques différents; Cependant, dans de nombreux cas, où la structure topologique émerge de manière « naturelle », indique l'ensemble est suffisante pour détecter l'espace topologique.

espaces métriques

dans un espace métrique (M, d), un sous-ensemble U de M est dit ouvert si, pour chaque point x en U, il existe un nombre réel ε> 0 tel que les points de distance de x à moins de ε appartiennent toujours à U. Formellement: si d (x, y) < ε, allora y appartiene a U. Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di M secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (mais pas vice versa).

espace euclidien

la espace euclidien Il est un espace métrique spécial. un ouvert de l'espace euclidien est un ensemble tel que pour tout de il y a un balle rayon 0 « /> centré sur , entièrement contenu dans .

En particulier, intervalle en Elle est ouverte si elle est du type , où et Ils peuvent également être respectivement et .

ensemble fermé

Une définition de chaque ensemble ouvert correspond à une définition de ensemble fermé. En général, un ensemble est fermé si et seulement si elle est le complément d'un ensemble ouvert; dans le contexte des espaces topologiques qui est exactement les propriétés définitionnelles, dans d'autres domaines, ils sont donnés des définitions distinctes et cette propriété est testé en tant que théorème.

bibliographie

  • Edward Sernesi géométrie 2, Turin, Bollati Basic Books, 1994 ISBN 978-88-339-5548-3.
  • Czes Kosniowski, Introduction à la topologie algébrique, Zanichelli, 1988 ISBN 88-08-06440-9.
  • (FR) Stephen Willard, topologie générale, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970 ISBN 0-486-43479-6.

Articles connexes