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ensemble fermé
points la plan cartésien satisfaisant à la relation former un circonférence ici dessinée en bleu ayant le centre à l'origine des axes cartésiens et le rayon . Les points tels que Ils sont indiqués en rouge. Le syndicat des points dessinés en rouge et en bleu ceux est un ensemble fermé, alors que la seule partie tirée sous forme rouge un ouvert.

en mathématiques, en particulier topologie, un sous-ensemble un espace topologique il est fermé si son complément est ouvert. Intuitivement, si un jeu est fermé signifie que le « bord » de l'ensemble appartient à la même, en fait équivalente à la précédente définition est la suivante: il est fermé si elle contient son frontière.

Les ensembles fermés ont alors les propriétés suivantes, « complémentaires » à ceux des ensembles ouverts, valable dans tout l'espace topologique:

  1. l 'union d'un nombre fini de fermé, il est encore fermé;
  2. l 'intersection un ensemble arbitraire de fermeture est encore fermé;
  3. l'ensemble et l 'ensemble vide Ils sont fermés.

Vous pouvez utiliser ces propriétés comme axiomes pour définir une topologie sur à partir de la position fermée, qui coïncide avec celle générée de la manière habituelle à partir de la famille ouvert complémentaire.

Exemples

Ils sont fermés droit réel avec l'habituel topologie induite par métrique euclidienne les sous-ensembles suivants:

  • les sous-ensembles ne contenant qu'un seul élément;
  • la intervalles , avec et nombres réels finis;
  • intervalles et , avec et nombres réels finis;
  • sous-ensembles de nombres naturels et entiers;
  • l 'ensemble de Cantor.

pas Je suis d'ensembles fermés droit réel avec l'habituel topologie induite par métrique euclidienne les sous-ensembles suivants:

  • intervalles et , avec et nombres réels finis;
  • le sous-ensemble de nombres rationnels.

D'autres exemples d'ensembles fermés sont:

  • tout sous-espace la espace euclidien;
  • un cercle (circonférence inclus) dans le plan, un balle (Avec sa surface) dans espace et plus généralement un "hypersphère (Par son bord) dans une espace euclidien à taille. De manière plus générale mis

    est un point dans l'espace et un nombre réel, est un ensemble fermé de espace métrique avec la topologie induite par la métrique .

propriété

  • Un sous-ensemble d'un ensemble fermé compact Il est également compact.
  • Un sous-ensemble compact dans une espace Hausdorff Il est fermé.
  • la frontière d'un ensemble quelconque est fermé.
  • dans un espace métrique (Par exemple, le euclidienne), les points sont fermés.
  • Un espace topologique est un espace T1 si et seulement si tous ses points sont fermés.
  • la controimmagine une fermeture à travers un fonction continue entre deux espaces topologiques il est fermé.

bibliographie

  • Edward Sernesi géométrie 2, Turin, Bollati Basic Books, 1994 ISBN 978-88-339-5548-3.
  • Czes Kosniowski, Introduction à la topologie algébrique, Zanichelli, 1988 ISBN 88-08-06440-9.
  • (FR) Stephen Willard, topologie générale, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970 ISBN 0-486-43479-6.

Articles connexes