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en mathématiques, et plus précisément dans topologie, la à l'intérieur d'un ensemble Il se compose de tous les points qui sont intuitivement « pas sur les bords de ». Un point de la partie interne de est un point interne de . La notion de l'intérieur est la double notion de nombreuses façons de fermeture.

définitions

si Il est un sous-ensemble d'un espace euclidien, puis il est un point intérieur de s'il y a un ouvrir le bal centré sur et contenu dans .

Cette définition généralise à un sous-ensemble un espace métrique , en fait si il est l'un espace métrique métrique , puis est un point interne de s'il 0 « /> que les deux chaque fois que la distance est .

la à l'intérieur un sous-ensemble un espace euclidien Il est l'ensemble de tous les points intérieurs de S.

L'intérieur de Il est indiqué par , , ou . En d'autres termes:

où il est indiqué par un rond de .

Notez que ces propriétés sont satisfaites, même si « interne », « sous-ensemble », « union », contenue dans « » plus « et » ouvert « sont remplacés par » fermeture « » surensemble « » intersection « » qui contient « » petit « et » fermé. « Pour plus d'informations sur ce sujet, voir opérateur interne inférieur.

Cas général pour un espace topologique

Cette définition est généralisée à une espace topologique le remplacement de « boule ouverte » par "rond« . Notez que cette définition ne dépend pas du fait que les environs sont ouverts ou non.

les deux espace topologique et les deux . Un point disent-ils interne à si que , qui est, si Il est un quartier de .

la à l'intérieur un sous-ensemble Il est l'ensemble de tous les points intérieurs de et Il est indiqué par ou .


propriété

les deux espace topologique et sont , sous-ensembles de .

puis:

  • Il est ouvert à et il est le plus grand contenu ouvert ;
  • elle a ouvert en ;
  • ;
  • .

Nous observons que ces propriétés alors également applicables au espace métrique et espace euclidien.

Exemples

  • Dans chaque espace de la partie intérieure 'ensemble vide Il est l'ensemble vide.
  • Dans chaque espace ,.
  • si Il est l'espace euclidien de reals, puis .
  • si Il est l'espace euclidien , puis la partie intérieure de l'ensemble de nombres rationnels Il est vide.
  • si est le plan complexe , puis 1 \}.} « />
  • en tout état de espace euclidien, la partie intérieure de chaque ensemble fini Il est l'ensemble vide.

Sur l'ensemble des nombres réels, il est possible de placer une autre topologie différente de celle standard.

  • si , où a la topologie limite inférieure, puis .
  • Si vous regardez sur la topologie dans laquelle chaque jeu est ouvert, .
  • Si vous regardez sur la topologie dans laquelle les seuls ouverts sont l'ensemble vide et même, puis .

Ces exemples montrent que l'intérieur d'un ensemble dépend du choix de la topologie de l'espace sous-jacent. Les deux derniers exemples sont des cas particuliers des éléments suivants:

  • en tout état de espace discret, étant donné que chaque jeu est ouvert, chaque ensemble est égal à son intérieur.
  • en tout état de espace banal , puisque les seuls ouverts sont l'ensemble vide et même, nous et pour chaque bon sous-ensemble de , .

Opérateur partie intérieure

Étant donné un ensemble , l 'opérateur partie intérieure Il est l'opérateur double de fermeture , en ce sens que

et même

indique la espace topologique contenant , et indique la complément un ensemble.

Par conséquent, la théorie abstraite des opérateurs de fermeture et axiomes de fermeture Kuratowski Ils peuvent facilement être traduits dans la langue des opérateurs de partie intérieure, en remplaçant des ensembles avec leurs compléments.

bibliographie

  • Marco Manetti, topologie, Springer, 2008 ISBN 978-88-470-0756-7.
  • Nicola Fusco, Paolo et Carlo Marcellini Sbordone, Deux Analyse mathématique, Liguori Editore, 1996 ISBN 978-88-207-2675-1.