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Atlas (topologie)
Deux cartes qui se croisent donner lieu à un fonction de transition entre les « espaces simples ».

en mathématiques, en particulier topologie, un atlas Il est un objet qui permet de décrire un variété par un ensemble de fonctions continues. Chaque fonction est appelée papier.

introduction

Un atlas décrit comme une espace complexe se compose de pièces simples, appelées « cartes ».

Plus précisément, un atlas d'une « zone difficile » est construit à partir des informations suivantes:

  • Une liste des domaines qui sont considérés comme « simple ».
  • Pour chaque point de l'espace complexe, rond point homéomorphe dans un espace simple. Le homéomorphisme est appelé papier.
  • Dans l'intersection de deux quartiers, les deux cartes peuvent être composé, donnant lieu à une fonction entre « espaces simples », appelé fonction de transition (ou pâte).
  • Elle exige que les différentes fonctions de transition sont compatible. Au minimum, il est demandé que homéomorphismes, mais en général ils imposeront des exigences plus strictes, telles que que la fonction est différentiables.

Cette définition de l'atlas est tout à fait similaire au sens non mathématique atlas. Chaque carte unique dans un atlas terre Il comprend un voisinage d'un point du globe à homéomorphe plan. Bien que chaque carte ne correspond pas exactement avec les autres cartes qui se chevauchent à elle (en raison de la courbure de la Terre), le chevauchement entre les deux cartes peuvent encore être comparées (en utilisant les lignes de latitude et de longitude, par exemple).

définition

Atlas (topologie)
Deux cartes qui se croisent donner lieu à un fonction de transition entre les « espaces simples ».

un topologique variété il est l'un espace topologique Hausdorff pour lequel il est possible de définir un couverture consistant en ouverts de sorte que chaque ouverture peut être mis en relation avec un ouvert la espace euclidien à travers un homéomorphisme.

il définit papier un homéomorphisme qu'une ouverture Il est en corrélation une ouverture de .

il définit atlas pour l'espace topologique un ensemble de cette carte .

En particulier, pour chaque point Il y a une carte:

et fonctions Elles sont dites coordonnées de par rapport à papier .

Compatibles et plafonds Atlases

Deux atlas sont déjà compatible si leur union est encore un atlas. Deux compatibles décrivent le atlas même « objet complexe »: un tel objet peut être décrit par un seul atlas plafond, défini comme l'union de tous les compatibles atlas.

Exemples

différents choix de conditions simples et compatibilité conduisent à différents objets spatiaux. Par exemple, choisir comme simple espace , vous obtiendrez topologique variété. En exigeant que les fonctions de transition sont différentiables, vous obtiendrez différentiables.

bibliographie

  • (FR) John M. Lee, Introduction à Lisser Collecteurs, Springer-Verlag, 2006 ISBN 978-0-387-95448-6.
  • (FR) Mark R. Sepanski, Groupes de Lie compact, Springer-Verlag, 2007 ISBN 978-0-387-30263-8.

Articles connexes

liens externes

  • atlas par Rowland, Todd

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