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en topologie algébrique, la -e numéro Betti un espace topologique , défini pour chaque 0 et notée , est un nombre naturel ou infini que, en termes intuitifs, constitue le nombre de trous ou de cavités -dimensionnelle présent dans . Si l'espace topologique en question est un surface Σ, la premier numéro Betti (Σ) coïncide avec le nombre maximal de coupes (circulaire) qui peuvent être effectuées sans diviser la surface en deux morceaux.

Le terme « nombres de Betti » a été inventé par Henri Poincaré en référence à Enrico Betti.

définition

la -e nombre de Betti espace Il est défini comme la rang (À savoir le nombre de générateurs) de groupe abélien , la -e groupe d'homologie de .

propriété

Les nombres de Betti (rationnel) ne prennent pas en compte la twist des groupes d'homologie, mais ils sont invariants topologiques de base très utile. En termes plus intuitifs, permettent de compter le nombre de trous dans différentes tailles. Pour un cercle, le premier numéro Betti est 1. Pour un générique bretzel le premier nombre de Betti est deux fois le nombre de trous.

Exemples

  1. La séquence des nombres de Betti pour un cercle est égal à 1, 1, 0, 0, 0, ...;
  2. La séquence des nombres de Betti pour un deuxtaureau Il est 1, 2, 1, 0, 0, 0, ...;
  3. La séquence des nombres de Betti pour un trois-tore est égal à 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ...;

En fait, pour un n-taureau vous pouvez vous attendre à voir apparaître la coefficients binomiaux. Tel est le cas du théorème Künneth.

liens externes

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