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la filtre de Kalman est un moyen efficace filtre évaluer de manière récursive l'état d'un système dynamique à partir d'une série de l'objet de mesures de bruit. En raison de ses caractéristiques intrinsèques est un filtre pour les agents de bruit et de perturbation de zéro de Gauss moyenne. Trouvez comment utiliser le statut d'observateur, comment récupération de transfert en boucle (LTR) et comme un système de l'identification des paramètres.

Le problème de la conception du filtre de Kalman est le double problème de la régulateur linéaire quadratique (LQR).

histoire

Le filtre est nommé Rudolf Kalman, si Thorvald Nicolai Thiele[1] et Peter Swerling ont en fait déjà mis au point un algorithme similaire. Stanley Schmidt est généralement reconnu avoir été le premier à développer un mode de réalisation pratique d'un filtre de Kalman. Cela est arrivé lors d'une visite à Ames Research Center de Kalman NASA, à laquelle Schmidt a vu l'applicabilité des idées du problème de l'estimation de la trajectoire de Kalman Apollon, se terminant par Apollo inclure dans le bord du programme informatique. Le filtre a été développé dans des articles scientifiques par Swerling (1958), Kalman (1960) et Kalman et Bucy (1961).

De nombreux types de filtres de Kalman ont été développés plus tard, à partir de la formulation initiale de Kalman, appelé maintenant le filtre simple Kalman; quelques exemples sont le filtre étendu Schmidt, le filtre information et divers filtres racine carrée mis au point par Bierman, Thornton et bien d'autres. Il peut être considéré comme un filtre de Kalman également à la boucle à verrouillage de phase (Phase-Locked Loop ou PLL), le circuit électronique maintenant utilisé dans de nombreuses applications, de la radio aux ordinateurs électroniques et les transmissions de données.

filtre de Kalman en temps continu

Définition du problème

Elle considère l'application du problème à un système MIMO générique: donné une dynamique système linéaire constante sous réserve de traiter le bruit et mesure du bruit , Ils écrivent les équations caractéristiques telles que:

    avec   

où le bruit et ils sont décorrélé au fil du temps, conjointement gaussienne à médias rien. Sans beaucoup de perte de généralité, vous pouvez envisager (Cas d'un strict système). Compte tenu du bruit, nous écrivons une matrice ladite matrice de covariance tels que:

Comme ils prennent des hypothèses supplémentaires: (Définie positive), qui est la composante de bruit dans rien de covariance sur chaque sortie, , ou les bruits sur l'état et la sortie sont décorrélées, l'état est modélisé comme une variable aléatoire gaussienne de telle sorte que:

ainsi que le bruit et l'état ne sont pas corrélées, à savoir:

Le statut d'observateur

Il est considéré à ce point l'observateur

A partir de là, avec des étapes simples algébriques pour remplacer, vous pouvez écrire l'erreur dynamique comme suit:

où vous définissez

Une écriture

Nous constatons que la valeur attendue de l'erreur est un système autonome. Nous définissons dans ce cas, la matrice de covariance d'erreur

L'objectif d'optimisation est donc de trouver qui minimise le facteur de mérite

avec vecteur générique de dimensions appropriées.

Forme du filtre de Kalman

Il est démontré que le gain qui permet de résoudre le problème d'optimisation a la forme

Il est la solution de 'équation de Riccati écrit sous la forme

avec la condition initiale

Il montre exactement comment le cas du double problème d'optimisation pour la contrôle LQ.

Kalman Propriétés du filtre

Nous étudions ici les propriétés du filtre de Kalman d'horizon temporel infini. Un résultat important concerne la stabilité du filtre: on définit la matrice que la partition de la matrice , ou de telle sorte que

Ensuite, le filtre de Kalman est stable si la paire il est réalisable et si la paire Il est observable.

Dans ces hypothèses l'estimateur optimal est:

avec

Il est la seule solution définitive positive de l'arrêt Riccati

la stabilité asymptotique

Sous les hypothèses retenues le filtre de Kalman est asymptotiquement stable, car il se produit que tous les pôles du filtre ont une partie réelle négative, à savoir les valeurs propres de la matrice Ils font partie réelle négative.

filtre de Kalman en temps discret

Définition du problème

Elle considère l'application du problème à un système MIMO générique: donné une dynamique système linéaire constante sous réserve de traiter le bruit et mesure du bruit , Ils écrivent les équations caractéristiques telles que:

    avec   

où le bruit et ils sont décorrélé, gaussienne à médias rien.

Il en résulte dans les formules (filtre d'estimation de l'état, la variance d'erreur de l'estimation filtrée, le facteur prédictif de l'état, la variance d'erreur de prédiction):

où:

notes

  1. ^ Steffen L. Lauritzen, Thiele: Pioneer en statistiques Classé 13 octobre 2008 sur l'Internet Archive., Oxford University Press, 2002. ISBN 0-19-850972-3.

bibliographie

  • Magni L., Scattolini R., commandes automatiques Complements, Pitagora Editrice, Bologne, 2006.
  • Colaneri P., A. Locatelli, Commande robuste en RH2 / RH, Pitagora Editrice, Bologne, 1993.
  • K. Zhou, J. C. Doyle, K. Glover, Commande robuste et optimale, Prentice Hall, 1996.
  • P. Or, C. Abdallah, V. Cerone commande linéaire quadratique: une introduction, Prentice Hall, 1995.

Articles connexes

liens externes

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