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en mathématiques un séquence de fonctions est un succession dont les termes fonctions.

La définition d'une appropriée limite pour une séquence de fonctions est un thème important de 'analyse fonctionnelle. En particulier, pour les séquences de fonctions est introduit, à côté de la convergence en temps opportun, le concept important convergence uniforme. La convergence uniforme à une fonction sur un intervalle donné peut être défini par la norme uniforme.

définition

Étant donné un ensemble de fonctions entre deux ensembles fixes et , une suite de fonctions est une application de l'ensemble de nombres naturels en , qui associe à chaque nombre naturel une fonction . La succession est généralement indiquée par l'un des deux symboles suivants:

Le second symbolisme est plus correct en ce sens qu'il met en évidence le fait que la notion de succession se généralise à commandé tuple.

Il est important de noter que, dans la définition, ainsi que dans l'énonciation de nombreux théorèmes et propriétés, il est nécessaire de supposer que la domaine La fonction est un ensemble structuré. Seulement le cas échéant, on comprendra, selon le cas, un espace topologique, métrique, etc.

Les valeurs en un point fixe

Un élément fixe dans le domaine , la succession:

les valeurs des fonctions de Il est une succession d'éléments de codominio . quand Il est un ensemble numérique, comme l'ensemble des reals, c'est un séquence numérique.

Limite de la relève

donné une succession des fonctions, il est naturel de définir une notion de limite. si est une séquence de fonctions de en , la séquence numérique les valeurs prises à un point ou non avoir une limite. S'il y a une limite pour chaque point , vous pouvez définir un fonction limite . Ce type de convergence, obtenu « en calculant la limite point par point, » il est dit convergence simple. La convergence rapide est peu utilisé dans de nombreux contextes de 'analyse fonctionnelle parce qu'elle ne satisfait pas aux exigences qui sont normalement considérés comme importants. Parmi eux, il est, par exemple, commutativité le bord avec d'autres actions que vous pouvez prendre les fonctions.

Dans le cas des fonctions en , la convergence en temps opportun a les propriétés suivantes:

  • La limite d'une succession fonctions continues pas Il est nécessairement une fonction continue.
  • La limite d'une succession fonctions différentiables ou intégrable pas Il est nécessairement dérivable / intégré.
  • La limite de intégrales d'une séquence de fonctions pas est nécessairement égal à l'intégrale de la limite, à savoir, pas vous pouvez toujours échanger entre eux la marque limite à celle de l'intégrale.
  • La limite des dérivés d'une séquence de fonctions pas est nécessairement égale à la dérivée de la limite, à savoir, pas vous pouvez toujours partager entre eux le signe du dérivé de cette limite.

Pour parvenir à des notions de convergence qui répondent aux propriétés ci-dessus un espace approprié est défini « fonction en , par exemple, l'espace de fonctions continues, l'espace de fonctions mesurables ou dans l'espace tout lisses fonctions. fournir une notion de distance, de sorte que se révèle être un espace métrique, vous pouvez introduire une notion de convergence d'une suite d'éléments de plus forte que celle du temps, appelé « convergence uniforme. »

pointwise

les deux une succession de fonctions de en et les deux une autre fonction de en . l'espace Il peut être, par exemple, l'ensemble des reals ou complexe. La séquence de fonctions converge ponctuellement si:

pour chaque dans le domaine . En symboles, il écrit:

Si le codomain Il est l'ensemble des reals, Vous pouvez également utiliser un symbole qui indique une convergence monotone. Si:

pour chaque et , puis aussi:

pour chaque et , et écrire ou . De même, s'il ou dans l'autre de l'inégalité est écrit ou .

convergence uniforme

Succession de fonctions
Vous pouvez voir la convergence uniforme à travers le fait que la succession des fonctions ne sortent pas de la fonction limite pour une distance supérieure à .

les deux une succession de fonctions par tous en et les deux une fonction. succession converge uniformément vers la fonction si pour chaque 0 « /> de telle sorte que:

pour tous N « />.

Cela dit:

la succession converge uniformément vers si et seulement si:

succession converge localement uniformément si pour chaque dans une espace métrique que converge uniformément sur .

Notez que si la définition de l'échange uniforme de convergence « il pour « et » tous les « Vous obtenez la convergence rapide de la définition: pour chaque et pour chaque 0 « /> il y a un que pour tous N « />. On voit que la convergence uniforme implique que précise.

La convergence uniforme diffère du temps utile du fait que, définir une valeur 0 « /> (Voulant aussi petit plaisir), on peut le trouver dans un indice correspondant qui ne dépend pas de , ou il ne dépend pas du point considéré. Officieusement on peut dire que, une fois fixé , chaque fonction avec tout au long se rapproche fonction avec un défaut mineur .

propriété

La convergence uniforme est souhaitable dans de nombreux contextes à la convergence en temps opportun car il répond à un certain nombre de propriétés. les deux uniformément convergente dans :

  • si le temps est limité Il est limité.
  • si il est continue puis Il est continue.
  • si il est uniformément continue puis Il est uniformément continue.
  • si est convergente en continu et uniformément sur , puis:
Ce rapport permet la passage à la limite sous le signe. L'hypothèse de la continuité peut aussi être remplacée par l'hypothèse selon laquelle les deux intégrable Lebesgue.
  • la lemme de Dini stipule que si ou en (Le temps) avec et continue et compact, puis uniformément convergente dans .
  • Si vous rencontrez [citation nécessaire]:
    • fonctions ils sont dérivable en
    • converge vers pour certains
    • converge vers uniformément
puis uniformément, différentiables et .

uniforme métrique

si il est compact, espace tout fonctions continues sur Il peut être équipé d'un distance:

pour devenir un espace métrique. Dans celui-ci est défini un concept d'une limite de succession qui coïncide avec celle de la convergence uniforme. Les hypothèses à la fois compact et que les fonctions continues sont introduites pour obtenir effectivement une distance finie entre chaque paire de fonctions, grâce à Weierstrass. Cette distance est à son tour induit par norme uniforme.

Le test de convergence de Cauchy

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Le test de convergence de Cauchy.

les deux une séquence de fonctions définies dans . Il converge rapidement et uniformément si et seulement si pour chaque 0 « /> il existe un indice de telle sorte que, pour chaque en :

\ Nu « />

Dans l'espace des fonctions limitées en fait, applique le critère de convergence de Cauchy, étant elle soit espace complet.

Exemples

Les exemples suivants sont des séquences de fonctions en .

Dans certains cas, une succession de fonctions peut être entièrement décrite par une expression du type:

où les premiers termes sont les suivants:

De même, une expression du type:

Il décrit la séquence des fonctions:

où si Vous obtenu par une séquence de nombres réels.

bibliographie

  • Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Éléments de mathématiques Deux. Version simplifiée pour les nouveaux programmes d'études, Liguori Editore, Napoli, 2001 ISBN 88-207-3137-1
  • (FR) Hans Niels Jahnke, 6.7 La Fondation de l'analyse au 19ème siècle: Weierstrass, en Une histoire de l'analyse, AMS Librairie, 2003 ISBN 978-0-8218-2623-2.
  • (FR) Konrad Knopp, Théorie et application de l'infini Série; Blackie and Son, Londres, 1954, réédité par Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
  • (FR) G. H. Hardy, Sir George Stokes et le concept de convergence uniforme; Actes de la Société philosophique de Cambridge, 19, pp. 148-156 (1918)
  • (FR) Bourbaki; Éléments de Mathématiques: Topologie générale. Chapitres 5-10 (Broché); ISBN 0-387-19374-X
  • (FR) Walter Rudin, Principes de l'analyse mathématique, 3e éd., McGraw-Hill, 1976.
  • (FR) Gerald Folland, Analyse réelle: Les techniques modernes et leurs applications, Deuxième édition, John Wiley Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.

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