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la Procédé de rigidité directe (Ou déplacements) définit une stratégie de résolution poutres élastique (cadres et fermes) Constitué avec des charges externes (ou équivalent) pour des forces et des couples appliqués aux noeuds. La stratégie utilise les paramètres de déplacement nodales comme inconnues du problème et constitue donc une partie intégrante d'une formulation pour le déplacement du problème élastique qui remonte à Clebsch.

La méthode de raideur directe est indifférent au caractère isostatique ou hyperstatique de la structure et est particulièrement appropriée pour l'analyse des structures avec un degré élevé de hyperstaticité. En fait, contrairement à la méthode de flexibilité, le procédé de rigidité directe ne soit pas surchargé par l'augmentation du degré de hyperstaticité de la structure. Au contraire, l'augmentation du degré de hyperstaticité par l'introduction de plus contraintes cinématiques Elle implique une réduction du nombre de paramètres nodaux indépendants et, par conséquent, une simplification des équations du système nodal d'équilibre dans lequel le procédé de rigidité directe arrive.

La méthode de rigidité directe se prête à une représentation formelle de type vecteur et à un déploiement dans le code d'analyse automatique: elle représente l'analyse de la matrice prototype naturel des structures par les termes qui sont nés modernes méthode des éléments finis.

Méthode de la raideur
Un treillis que l'assemblage des poutres et noeuds

niveau et une analyse complète centrale

Dans le procédé de la poutre de rigidité est considéré comme un assemblage de poutres reliés entre eux par noeuds. Le comportement mécanique d'ensemble de la structure est la somme du comportement de ses éléments de poutre et de leurs interactions statique cinématique: les noeuds sont des points de ces interactions.

De cette façon de voir la structure fait naturel d'organiser le travail d'analyse en deux niveaux d'activité:

  • niveau local Elle est associée à l'étude du comportement de l'élément unique, et implique une opération de réécriture des relations internes entre le stress et la fatigue en termes de relations extérieures entre les forces nodales et les déplacements nodaux de l'élément. Ceci permet la réécriture d'une représentation synthétique (type de matrice) et essentielle pour le comportement des éléments individuels du type de faisceau:
Ils sont respectivement les vecteurs des forces et des déplacements nodaux de chaque faisceau (dans le repère local)
est le matrice de rigidité locale du faisceau générique;
  • le niveau global est associée à la représentation des interactions statiques cinématique-poutres nodaux des éléments: les conditions d'équilibre et la structure de la congruence des noeuds. Celles-ci ont la représentation matricielle suivante:
(cinématiques relations de compatibilité nodales);
(relations d'équilibre nodales).
sont les vecteurs des forces et des déplacements respectivement nodales de la structure entière (dans le repère global);
est le matrice de congruence des déplacements nodaux du faisceau générique (exprimée en termes de cosinus de direction);

En particulier à ce rapport global de niveau qui résument le comportement des faisceaux individuels sont utilisés dans le but de construire sous une forme simple les rapports généraux qui décrivent le comportement de la structure.

Méthode de la raideur
Description locale d'un faisceau
Méthode de la raideur
Les paramètres cinématiques locales et globales d'un des noeuds de faisceau
Méthode de la raideur
paramètres statiques locales et globales d'un des noeuds de faisceau

Formulation directe

Le procédé utilise les relations suivantes entre les charges et les déplacements nodaux des éléments de la structure:

  • (A) (Relations constitutives, représentative de la réponse élastique de chaque poutre de l'élément);
  • (B) (cinématiques relations de compatibilité nodales);
  • (C) (relations d'équilibre nodales).

En particulier, le procédé de raideur

  • prend les relations (a) et (b), autrement dit, il faut a priori réalisé au niveau local de chaque élément (par rapport à la solution de la ligne élastique) et les conditions de congruence nodaux,
  • et impose les conditions de nodal d'équilibre (c) que, après avoir remplacé le précédent sont ainsi exprimées

Celles-ci définissent un système d'équations algébriques dans les quantités inconnues (Les principales inconnues du problème), où les termes connus sont liés au support des charges nodales, tandis que la matrice de coefficients , que de la matrice de rigidité de la structure, Elle est obtenue par une opération d'assemblage des matrices de rigidité des poutres individuelles. Résolu en termes de déplacements nodaux , les relations (b) et (a) fournir les valeurs des forces et des déplacements nodaux nodales sur les éléments individuels de faisceau de la structure, à partir de laquelle reconstruire localement la solution du problème.

Formulation d'énergie

Le procédé de la rigidité suit une formulation en termes de variables déplacement encadrée principe du total énergie potentielle minimum. La synthèse, la philosophie générale de la méthode de rigidité directe consiste dans le fait

  • définir un ensemble de champs de déplacement possibles pour la structure, cinématiquement compatibles avec les contraintes internes et externes du problème;
  • la recherche dans cet ensemble que l'un champ de déplacements qui correspondent à des contraintes internes en équilibre avec les charges externes.

En particulier, sur la base de la solution de ligne élastique de l'ensemble de problème est limité à ceux des champs de déplacement, non seulement cinématiquement compatible, mais aussi équilibré (avec des charges nulles localement) sur les points intérieurs des éléments qui composent la structure de poutre. Au moyen des conditions de congruence nodaux , Un tel ensemble de la représentation cinématique est exprimée uniquement en termes d'un nombre limité de paramètres, les déplacements nodaux , qui deviennent les principales inconnues du problème.

La solution est donc recherchée imposer les conditions équilibre nodal, le seul a priori pas encore remplies. Cette condition d'équilibre est équivalente à la condition de stationnarité (minimum) de l'énergie totale du potentiel du système

est la structure de l'énergie de déformation (la somme des énergies de déformation des faisceaux individuels synthétiquement exprimés en termes de leur matrice de rigidité), tandis que Il est le travail des charges nodales. Ayant fait usage de la ligne élastique de la solution, l'énergie de déformation de faisceau unique est exprimée en termes de sa matrice de rigidité . Encore une fois, rappelant les relations de congruence nodaux, la structure de l'énergie de déformation est exprimée en termes de la matrice de rigidité globale

Par conséquent, la condition minimum de l'énergie potentielle totale est exprimée sous la forme discrète suivante

aspects opérationnels

D'un point de vue opérationnel, le procédé de rigidité directe comprend les étapes suivantes:

  1. les paramètres sont définis nodal cinématique indépendant;
  2. pour chaque faisceau, elles sont déterminées par les matrices correspondant et la rigidité locale ;
  3. Il est assemblé, la matrice de rigidité globale de la structure ;
  4. le support est assemblé des charges externes nodaux;
  5. Il a résolu le système d'équations algébriques ;
  6. puisque les déplacements nodaux , pour chacune des tiges de la structure est de déterminer les déplacements et les forces nodales , et reconstitue la déformation et les contraintes internes de la vente aux enchères en faisant usage de la solution de ligne élastique.

approche manuelle

Dans une approche manuelle de la phase 2 consiste à déterminer, pour chaque faisceau de noeuds ,

  • Les paramètres de déplacement nodal dans la référence locale en fonction des paramètres pertinents dans le repère global, en utilisant les cosinus directeurs de la poutre  ;
  • les forces nodales qui utilisent des coefficients de rigidité
Méthode de la raideur
Les coefficients de rigidité d'une poutre

A cet effet, il convient de se référer aux paramètres cinématiques locaux suivants , où sont les composantes de déplacement de la référence locale avec l'axe positionné le long de l'axe rectiligne du faisceau. Par rapport à ce sont les relations constitutives locales suivantes se référant à un modèle simple de faisceau à Bernoulli

Etape 1 est commodément obtenu en tenant compte des contraintes internes et externes de la cinématique du système. En particulier, dans une approche manuelle, afin de réduire le nombre de variables du problème, il est commode d'introduire une inextensibilité axiale hypothèse des faisceaux, étant généralement négligeable erreur ainsi introduite.

Notez toutefois que, si d'une part la possibilité de tiges déformables axialement, ce qui réduit considérablement le nombre d'inconnues cinématiques, simplifie la mise en oeuvre manuelle de la méthode de rigidité directe, l'autre implique que les nouvelles contraintes internes cinématiques sont systématiquement prises en compte dans le suivi de la cinématique de la structure. Il est encore à noter que, en cas de inextensibilité axiale, une fois reçue par la solution en fonction des déplacements nodaux du problème, il est possible d'atteindre la reconstruction des caractéristiques de contrainte de cisaillement et moment de flexion sur chaque tige sur la base des coefficients de rigidité relative. Ce n'est pas également possible pour la contrainte normale, comme le lien spéculé indéfiniment son lien élastique , être et . Cependant, ayant les valeurs de contraintes normales dans des ventes aux enchères, cependant, satisfaire les équations d'équilibre à la traduction des noeuds de structure, dans certains cas (mais pas tous), la résolution de ces derniers, il est possible d'atteindre les valeurs recherchées, la reconstruction de la distribution des contraintes normale sur la structure.

Approche automatique (matrice d'analyse des structures)

Précisément en raison de la facilité avec laquelle il est possible de formaliser les différentes étapes du procédé dans une séquence d'opérations de la matrice, le procédé de rigidité directe se prête particulièrement à une mise en oeuvre de codes de calcul automatiques. Ceci est l'avantage le plus important de la méthode de rigidité directe par rapport à la méthode des forces.

En particulier, un code de calcul de structure implique l'utilisation d'une méthodologie générale, l 'analyse de la matrice de structures encadrée méthodes FÉM, dans lequel l'analyse est défini et réalisé de manière entièrement automatique à partir de seulement la description de la géométrie et des charges (l'entrée), l'automatisation non seulement la résolution du système d'exploitation de la algébriques , mais aussi (avant), les opérations d'assemblage de la matrice de rigidité et le support de charge et (après) la reconstruction rapide de la solution puisque les déplacements nodaux .

Dans le cadre d'une analyse automatique, il est clair que la limite du nombre d'inconnues du problème ne découle que des limites physiques de la machine sur laquelle le code est mis en œuvre: avec la technologie actuelle, cette limite est supérieure à tous nos besoins prévisibles. Dans cette perspective, l'hypothèse de la inextensibilité axiale des faisceaux, justifiée dans une approche manuelle afin de réduire les inconnues du problème, n'a aucune raison d'exister. La mise en compte de la déformabilité axiale conduit à une solution moins approximative et à une plus grande généralité du code d'analyse. A cet effet, il convient aussi de revenir sur le modèle de faisceau, en passant d'un faisceau à l'Bernoulli à une modélisation plus riche du faisceau Timoshenko, qui met également en compte la déformabilité en coupant le défilement. En particulier, dans ce qui suit, nous ferons référence à la représentation locale à la suite du faisceau unique (la matrice de rigidité locale )

où le coefficient Il prend en compte l'influence de déformabilité cisaillement, alors que la représentation se réfère aux paramètres de déformation locaux suivants

  •  : Variation en pourcentage de longueur
  • : Rotations nodaux liés à la ligne droite joignant le nodal .
Méthode de la raideur
Description locale d'un faisceau

De tels paramètres de déformation locaux sont déterminés sur la base de la nodale relation de congruence suivante (la congruence de la matrice )

sont les cosinus directes du faisceau dans le repère global.

bibliographie

  • Antonio Domenico Lanzo. Faisceaux d'analyse élastique: méthodes et applications. Arachné, Rome, 2007. ISBN 9788854811621.

Articles connexes