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Le traitement des plans d'échantillonnage (L'entité d'échantillonnage) est l'un des premiers problèmes qui se produisent au contrôle de qualité une entreprise qui exerce ses activités dans la production industrielle appelé à vérifier certaines caractéristiques de la qualité d'un lot de marchandises achetées (matières premières) ou en (produit fini), par l'inspection ou l'analyse d'une partie très limitée, appelée échantillon, l'ensemble (pour les statisticiens " population « ).

Il est facile à comprendre à quel point il peut être d'obtenir la procédure à extraire, et soumettre au contrôle, des échantillons qui répondent à deux exigences contradictoires entre eux comme la plus grande précision et coût minimal.

L'utilisation d'outils statistiques appropriés est un moyen irremplaçable pour évaluer de manière proactive l'importance de chaque plan d'échantillonnage hypothétique afin de sélectionner la méthode la plus appropriée.

terminologie

(Termes et symboles choisis parmi les multiples utilisés dans la littérature)

unité 
la plus petite partie du jeu qui peut être échantillonné (gramme, pièce, etc.).
contrôle des attributs 
le mode de vérification qui donne une réponse en termes purement qualitatifs (oui / non, présent / absent, positif / négatif).
pour une commande variable 
mode de vérification qui conduit à la détermination d'une valeur numérique se rapportant à un niveau quantitatif (taille, la mesure analytique).
Contrôle normal, sévère, réduit 
Définition d'un degré plus élevé de gravité liés à un risque plus ou moins d'une évaluation défavorable que vous pensez que vous pouvez exécuter.
N (Surface du terrain) 
nombre d'unités qui composent le jeu.
n (Taille de l'échantillon) 
nombre d'unités tirées du jeu.
r (unités défectueuses) 
le nombre d'unités défectueuses contenues dans le jeu.
p (Fraction défectueuse) 
fraction d'unité de défauts (= r / N).
p% (Pourcentage défectueux) 
le nombre d'unités défectueuses à 100 unités dans le lot (= 100 r / N).
k (Numéro d'acceptation ou le nombre d'occurrences) 
nombre maximal d'unités défectueuses sur n échantillonnés et analysés, ce qui a décrété l'acceptabilité du jeu.
λ (Valeur prévue) 
le nombre d'unités défectueuses sur n échantillonné qu'il est légitime d'attendre d'un jeu avec des défauts p (= n p).
P (Limite fiduciaire) 
probabilité, exprimée en termes de fraction d'unité, qui est variable de zéro à un, qu'une correspondance avec un pourcentage défectueux particulier (ou fraction défectueuse) présente k unités non conformes à la n échantillonnée, ou que la valeur de la grandeur mesurée se situe dans l'incertitude indiquée.
Pà (Probabilité d'acceptation) 
probabilité, exprimée en termes fractionnée, il est admis une correspondance avec le pourcentage défectueux (ou fraction défectueuse) convient comme acceptable. Le risque du vendeur est la probabilité 1 - Pà qu'un tel envoi est rejeté.
Pc (Probabilité du consommateur) 
probabilité, exprimée en termes fractionnée, il est admis une correspondance avec un pourcentage défectueux particulier (ou fraction défectueuse) de convenir comme acceptable. Elle correspond au risque.
un! (factoriel) 
produit d'un nombre entier à pour tous ceux qui le précèdent, en arrière jusqu'à 1 (0! Il est traditionnellement égal à 1).
exp {a} 
base du logarithme naturel (et = 2,718281183) élevé à la puissance à.
x 
La valeur numérique de la variable (analyse de données).
(Medium) 
somme des résultats numériques divisé par le nombre de données. Dans la distribution normale coïncide avec la valeur centrale.
σ (écart-type
mesure liée à la dispersion des données autour de la moyenne.
variance
σ2
z (Multiplicateur de l'écart type) 
z σ à la moyenne droite ou à gauche identifie un segment sur l'axe horizontal au-dessus duquel la zone gaussien a une certaine valeur en termes de fractions (voir tableau). Si l'incertitude du résultat dépend essentiellement de la taille de l'échantillon, il convient de remplacer z avec la variable t de Student qui prend en compte les degrés de liberté n - 1 et qui tend à z tendre n infinitum.
et (Erreur) 
différence maximale acceptable entre la valeur expérimentale et la valeur réelle, également appelée précision, bien qu'il semble le nom de non-précision plus approprié.

outils statistiques

la statistiques déductives utilise des expressions mathématiques dérivées de la théorie des probabilités, d'extrapoler, à partir de données expérimentales limitées, des déclarations générales à la recherche « probabilité » qui est basée sur la probabilité que ce que vous dites est vrai.

Pour l'étude de l'échantillonnage, vous pouvez utiliser des plans certaines de ces fonctions, communément appelé variables aléatoires.

Variable aléatoire hypergéométrique

(1)
où:

Remarque: N relativement peu d'effet sur P et en tout cas, pour des valeurs très grandes N, la fonction devient équivalente à la variable aléatoire binomiale correspondante.

Variable aléatoire binomiale

(2)
où:

Note: si n est grande (environ> 50) et p très faible, de sorte que np est inférieur à 10 et p (1-p) presque égale à p, alors le binomiale peut être approchée par un Variabile Casuale Poissoniana où λ = np.

Variabile Casuale Poissoniana

(3)
avec λ > 0

notes:

  1. si n Il est très grand et λ > 10, le Poissoniana peut être approchée par une variable aléatoire normale avec une valeur centrale et la variance égale à λ.
  2. LA PLUPART DES PLANS DE SONDAGE POUR L'INSPECTION PAR ATTRIBUTS EST BASÉ SUR LA DISTRIBUTION LOI.POISSON.

Normale variable aléatoire (ou gaussienne)

(4)

notes

  1. Sous cette forme est une variable continue où x Il peut prendre toute valeur.
  2. LA PLUPART DES PLANS D'ÉCHANTILLONNAGE POUR LE CONTRÔLE DES VARIABLES SUR LA DISTRIBUTION EST NORMAL BASÉ.

Comme une approximation de Poisson devient:

(5)

Remarque: Ce formulaire est une variable discrète où k On suppose que des valeurs entières non négatives.

contrôle des attributs

Avec chacune des fonctions (1), (2), (3) et (5) on peut déterminer, les autres paramètres fixés (N, n, p, r, selon le cas), les chances d'obtenir k occurrences (échantillons non conformes) de n les tests (échantillons totaux).

Il est souvent plus intéressant que ce que vous obtenez en cumulant les valeurs de probabilité pour certains nombres d'occurrences, qui mécanographiques, en plus , les différents , , , , etc. et mettre en corrélation les probabilités ainsi obtenu avec les valeurs prises par défaut (tels que p% par exemple). Nous nous rendons compte de cette manière que l'on appelle la « courbe opérationnelle » avec des tableaux ou des graphiques qui permettent de fixer un plan d'échantillonnage (avec essentiellement n et k, compte tenu de l'importance limitée N limitée au calcul), d'apprécier la probabilité d'accepter un match avec des défauts p% avec ce plan particulier.

À ce stade, une paire de valeurs ayant disponible et p%, il sera plus facile de faire des considérations sur le vendeur risque (probabilité de rejet d'un lot conforme) et le risque (probabilité d'acceptation d'un jeu ne se conforme pas) et, sur cette base, restructurer régulièrement le plan.

Exemples d'application de la « Poisson »

analyse microbiologique des aliments

Supposons que la spécification récite Salmonella Absents dans 25 grammes et en ce que le procédé de commande indique que la vérification doit être effectuée dans trois flacons de bouillon nutritif approprié avec 25 g de produit chaque, pour un total de 75 g.

Nous considérons un gramme une unité constituant le jeu, et que gramme défectueux qui se révèle contenir Salmonella (probablement une Salmonella, si le matériau est tout à fait homogène).

nous k = 0 et n = 75: Notre plan est d'environ 75 unités de produits, le nombre d'occurrences (unités non conformes) est égal à zéro. Entendons-nous la signification statistique de cette hypothèse de travail.

à k = 0 Poisson est réduite à d'où

Vous pouvez maintenant compiler une série de valeurs de p (ou p%) Correspondant à certaines valeurs de :

P(0) n p p%
0,99 75 0.000134 0,0134
0,98 75 0.000269 0,0269
Pà 0,97 75 0.000406 0,0406
0,96 75 0.000544 0,0544
0,95 75 0.000684 0,0684
.... ... ........ ......
0,50 75 0.009242 0,9242
.... ... ........ ......
Pc 0,05 75 0.039943 3,9943
0,04 75 0.042918 4,2918
0,03 75 0.046754 4,6754
0,02 75 0.052160 5,2160
0,01 75 0.061402 6,1402
C'est-à-dire, par exemple, que:
  • GREEN BOÎTES
le vendeur court le risque d'être rejeté 3 fois sur 100 ((1 - 0,97) x 100) un jeu qui contient 1 Salmonella tous les 2,5 kg (4,06 à 10000 g), tandis que

.

.

.

  • JAUNE BOÎTES
l'acheteur est susceptible d'accepter 5 fois sur 100 (0,05 x 100) d'un jeu avec une Salmonella par 25 g (3,9943 à 100 g).

L'augmentation de la quantité prélevée (par exemple 6 échantillons de 25 g pour un total de 150 g) serait moins favorable pour le vendeur, et donnerait plus de garanties à l'acheteur de la manière suivante:

P(0) n p p%
Pà 0,97 150 0.000203 0,0203 1 Salmonella tous les 5 kg
Pc 0,05 150 0.019972 1,9972 1 Salmonella par 50 g

.

.

.

.

.

.

Contrôle de pièces défectueuses

Nous simulons avoir à faire avec un jeu se compose d'un certain nombre d'objets qui peuvent présenter un défaut acceptable dans certaines limites. Nous partons du principe campionarne d'un certain nombre (par exemple. 300) à soumettre à l'inspection d'adopter l'acceptabilité du jeu selon un certain nombre d'occurrences maximum, ou des échantillons avec ce défaut, qui, pour l'instant, pensez variable entre zéro et dix.

Avec Poisson construire le tableau suivant avec les valeurs cumulées de la probabilité par nombre d'occurrences et les défauts:

n 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300
p% 0,0 0,5 1.0 1.5 2.0 2,5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
p 0.000 0,005 0,010 0015 0020 0,025 0030 0035 0040 0045 0050
λ 0.00 1.50 3.00 4,50 6.00 7,50 9.00 10,50 12,00 13,50 15,00
k
0 1,0000 0,2231 0,0498 0,0111 0,0025 0,0006 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 1,0000 0,5578 0,1991 0,0611 0,0174 0,0047 0,0012 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000
2 1,0000 0,8088 0,4232 0,1736 0,0620 0,0203 0,0062 0,0018 0,0005 0,0001 0,0000
3 1,0000 0,9344 0,6472 0,3423 0,1512 0,0591 0,0212 0,0071 0,0023 0,0007 0,0002
4 1,0000 0,9814 0,8153 0,5321 0,2851 0,1321 0,0550 0,0211 0,0076 0,0026 0,0009
5 1,0000 0,9955 0,9161 0,7029 0,4457 0,2414 0,1157 0,0504 0,0203 0,0077 0,0028
6 1,0000 0,9991 0,9665 0,8311 0,6063 0,3782 0,2068 0,1016 0,0458 0,0193 0,0076
7 1,0000 0,9998 0,9881 0,9134 0,7440 0,5246 0,3239 0,1785 0,0895 0,0415 0,0180
8 1,0000 1,0000 0,9962 0,9597 0,8472 0,6620 0,4557 0,2794 0,1550 0,0790 0,0374
9 1,0000 1,0000 0,9989 0,9829 0,9161 0,7764 0,5874 0,3971 0,2424 0,1353 0,0699
10 1,0000 1,0000 0,9997 0,9933 0,9574 0,8622 0,7060 0,5207 0,3472 0,2112 0,1185

Par exemple, si vous décidez d'accepter l'envoi selon le critère n = 300 et k = 4, à environ 2 sur 100 cas (voir encadré vert) serait rejeté un jeu avec 0,5% d'unités non conformes, tandis qu'environ 13 fois sur 100 (voir encadré jaune) seront acceptées un jeu avec 2,5% de non-conformité .

Les graphiques résultant ayant des valeurs de probabilité ci-dessus pour les différentes valeurs k pour un nombre donné d'échantillons (dans cet exemple n = 300 ), Sont appelés Courbe de fonctionnement, caractéristiques pour chaque plan d'échantillonnage que vous voulez spéculer.

Plan d'échantillonnage
Courbes de fonctionnement basé sur n = 300. En fonction d'une série de valeurs maximales k (Les échantillons jugés non conforme), rapportent la probabilité d'acceptation de la défectuosité du jeu

pour une commande variable

Une distribution de données « normal » (ou gaussienne), est caractérisé par une valeur attendue correspondant à la moyenne arithmétique des données, par une symétrie absolue autour de la moyenne (valeur centrale), la forme caractéristique de la courbe « en cloche » représente la fonction densité de probabilité, et, enfin, par un paramètre très important lié à la dispersion des données autour de la valeur centrale, l'écart-type, ce qui correspond à l'écart de la gaussienne signifie ie carré

(valeurs moyennes)

Le calcul peut être simplifié en utilisant la formule équivalente

(Mean carré)

à savoir en extrayant la racine carrée de la différence entre le « carré moyen » et le « carré moyen ».

L'aire sous la courbe de cloche a une valeur 1 parce que, comme la somme de toutes les probabilités de valeurs particulières, il atteint 100%, à savoir la certitude. Il existe une relation définie entre cette zone et la valeur de déviation standard, si bien que rappelle souvent que, en tout gaussienne, environ 68% des données se situent entre () Et (), D'environ 95% () Et (), Et plus de 99% de () Et (). Ce ne sont que trois exemples utilisés pour faire un raisonnement grossier, mais, pour tout calcul particulier, il est possible d'utiliser le « multiplicateur de l'écart-type » (z) Pour obtenir la valeur, en termes de probabilité, d'une partie particulière de la zone de Gauss.

BOOSTER DE SD vs / aire sous la courbe normale à droite ou à gauche de la moyenne
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0,0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0280 .0319 .0359
0,1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0754
0,2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
0,3 .1179 .1217 .1255 .1294 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517
0,4 .1555 .1591 .1628 .1665 .1700 .1736 .1 772 .1808 .1844 .1879
0,5 .1914 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
0,6 .2258 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549
0,7 .2580 .2612 .2642 .2674 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
0,8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2996 .3023 .3051 .3079 .3106 .3133
0,9 .3159 .3186 .3213 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
1.0 .3413 .3438 .3461 .3486 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621
1.1 .3643 .3666 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3791 .3810 .3830
1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015
1.3 .4032 .4050 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177
1.4 .4192 .4207 .4223 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319
1.5 .4331 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4430 .4441
1.6 .4452 .4464 .4474 .4485 .4496 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545
1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4595 .4599 .4609 .4616 .4625 .4633
1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4700 .4706
1.9 .4713 .4719 .4726 .4733 .4738 .4744 .4751 .4756 .4762 .4767
2.0 .4773 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817
2.1 .4821 .4826 .4831 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857
2.2 .4862 .4865 .4868 .4871 .4873 .4878 .4881 .4884 .4888 .4890
2.3 .4893 .4895 .4898 .4902 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916
2.4 .4919 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936
2,5 .4938 .4940 .4941 .4944 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952
2.6 .4953 .4955 .4957 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964
2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974
2.8 .4974 .4975 .4977 .4977 .4977 .4978 .4979 .4980 .4980 .4981
2.9 .4981 .4982 .4983 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986
3.0 .4987

Avant d'aborder la définition d'un plan d'échantillonnage spécifique, il convient d'étudier la variabilité du produit du paramètre à contrôler: ceci est obtenu simplement en effectuant série d'analyses sur un certain nombre de matches et enfin la médiation de la norme de chaque valeurs d'écart de série (plus est donnée répétitive, plus le nombre de répétitions). Ceci est une étape préliminaire à laquelle il faut compter seulement comme une bonne quantité de détermination vous permet de garder hors des valeurs approximatives nécessairement expérimentales (échantillon) aux vraies valeurs (population) généralement inconnus.

En second lieu, il doit se concentrer dans le but du contrôle, qui peut être

  • assurez-vous que le test donne la vraie valeur à moins d'erreur acceptable avec une probabilité prédéterminée
  • Vérifier, avec une certaine probabilité, ne pas accepter un match avec les valeurs ci-dessus ou en dessous d'une certaine limite (pour l'instant, nous mettons de l'acheteur)

Dans les deux cas, il vient de donner une signification statistique à la valeur moyenne qui émergera du contrôle de n échantillons: la formule qui nous permet d'aborder le problème

Z E = σ / √n

σ / √n Il est l'écart-type de la distribution des moyennes n observations.

Nous aurons alors deux cas:

1) Si, à des fins (par exemple. Le paiement des marchandises sur la base d'un indice qualitatif), il est décidé que la valeur expérimentale ne doit pas dévier de la valeur réelle d'une plus grande quantité de et avec une chance P, la valeur sera utilisée pour z correspondant à P / 2 pour dériver n = (z σ / E). 100P fois sur 100 la valeur réelle sera entre et .

Gaussienne deux code.png

2) Si, en achetant un jeu, vous voulez avoir une chance P à l'accepter si la valeur d'une certaine caractéristique est pas moins , inférieure à une erreur maximale égale à et, la valeur sera utilisée pour z correspondant à P - 0,5 pour dériver n = (z σ / E). 100P fois sur 100 la valeur réelle ne sera pas inférieur à . La procédure est la même que le déplacement symétriquement à droite de la moyenne des cas de « pas plus ... ».

Gaussienne un coda.png

En outre, étant donné que le vendeur est d'avoir autant que 50 100 chances d'être refusé un jeu avec une véritable valeur égale à , la nécessité éventuelle de diminuer le risque du vendeur doit faire face par rapport à une valeur centrale moins éloignée du bord de référence, c'est-à-dire à une valeur de et plus faible (plus grande précision), avec la conséquence d'avoir à augmenter n selon l'équation ci-dessus.

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