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en algèbre linéaire, un matrice symétrique est un matrice carrée dont elle a la propriété d'être le transposée d'elle-même.

définition

que la matrice transposée de , une matrice est symétrique lorsque:

ou de façon équivalente, lorsque ses éléments rencontrer:

Pour les matrices à coefficients royauté les concepts de la matrice symétriques et matrice hermitienne (Une matrice égale à la propre transposée conjuguée) Sont équivalents.

propriété

L'un des théorèmes de base concernant ces matrices est la théorème spectral en dimension finie, qui indique que tous les coefficients de matrice symétrique royauté Il peut être diagonalise par un matrice orthogonale.

une matrice , définie sur un champ caractéristique différente de 2 (ou plus généralement sur un cycle dans lequel l'élément 2 est inversible), il peut toujours être écrite comme une somme d'une matrice symétrique et matrice antisymétrique . En supposant fait, vous pouvez envoyer des messages:

pour la définition de la matrice symétrique et de la matrice antisymétrique nous avons:

puis les matrices et Ils sont déterminés de manière unique:

Sur un anneau dans lequel la division par 2 est ce raisonnement ne concerne pas pas toujours possible, et il y a toujours des contre. Par exemple, une matrice de la forme:

Vous ne pouvez pas être écrit comme la somme d'une matrice symétrique et une matrice antisymétrique ou sur l'anneau des entiers , ou sur le champ fini .

Exemples

Les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale (Qui va de la gauche vers le coin inférieur droit). Par exemple:

chaque matrice diagonale Il est symétrique, puisque tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.

le produit , entre une matrice et son transposée, toujours renvoie une matrice symétrique.

Des exemples de matrices particulières sont symétriques le matrice Hankel, la matrice de Gram, la matrice Hilbert et matrice Filbert. Il y a aussi matrice Toeplitz, la matrice d'identité, et matrice nulle.

bibliographie

  • (FR) F.R. Gantmakher, La théorie des matrices , 1 , Chelsea, réimpression (1959-1960) pp. Vol. 1, Chapt. IX; Vol. 2, Chapt. XI
  • (FR) W. Noll, espaces de dimension finie , M. Nijhoff (1987) pp. Sect. 2.7

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liens externes

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