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en algèbre linéaire, analyse fonctionnelle et les domaines connexes de mathématiques, un norme est un fonction attribuer à chaque porteuse d'une espace vectoriel, à l'exception de zéro, une longueur positive.

définition

Une provision sur une espace vectoriel réel ou complexe est un fonction:

qui vérifie les conditions suivantes:

le couple Il est l'un espace normé.

Une fonction qui se produisent seulement la deuxième et la troisième condition est appelée seminormeLe seminorme attribue également une longueur nulle à un support autre que zéro. L'une des deux conséquences de la première condition (en particulier ) Il est toujours automatique de la seconde condition et à partir des propriétés d'un espace vectoriel. Chaque espace vectoriel avec un seminorme Il induit un espace normé , dire espace quotient, où le sous-espace de Il est l'ensemble de tous les vecteurs de telle sorte que . La norme induite sur Il est bien défini, et est donnée par .

Exemples

Norm (mathématiques)
différentes normes dans le plan peuvent être consultés en tirant le sphère unité.

espace de dimension finie

Ce sont des normes et fonctions:

avec . taille Toutes ces règles coïncident avec valeur absolue. à n'est pas respecté l'inégalité triangulaire, alors il ne peut pas être une norme.

La règle 1 est trivialement la somme des valeurs absolues des composants, habituellement appelé conformément à la contraction du tenseur avec: , indiquant explicitement généraliser ce que la valeur absolue de l'affaire vecteur.

Le meilleur exemple connu est plutôt la norme 2 (de sorte que le 2 est généralement omis), également connu sous le norme euclidienne, que espace euclidien -dimensions devient:

la règle Il est (en utilisant la notion de limite d'une fonction) le maximum des valeurs de composantes de valeur absolue:

Infinis espaces de dimension

Pour chaque sous-ensemble compact de considérer la espace vectoriel tout fonctions continues valeur réelle. Vous définissez ensuite la Lp (1

fixé ensemble arbitraire, la même fonction définit une norme sur l'espace vectoriel des fonctions limitées à des valeurs dans .

la norme uniforme, par analogie avec le cas de l'espace de dimension finie, il est:

Dans l'espace vectoriel de carrés fonctions sommables Il est défini comme la seminorme euclidienne:

produit Scalar, la distance

En général, chaque produit scalaire défini positif Il induit une norme:

.

Si un distance définie dans un espace vectoriel satisfait aux propriétés:

(Invariance traductions)
(Homogénéité)

alors la fonction:

Il est une norme.

propriété

  • Chaque norme (semi) est fonction sous-linéaire (Mais ne vaut pas le contraire), d'où il résulte que toute norme est fonction convexe.
  • La non-négativité pourrait aussi tirer en raison de ses propriétés: en effet la propriété de homogénéité Cela implique que:
puis avec la inégalité du triangle vous obtenez:
pour chaque .
  • inégalité triangulaire inversée:
pour chaque :
En fait:
où:
et de même:

Structure topologique

La norme induit une métrique par:

()

puis un topologie, définir en tant que rond de chaque ensemble contenant un balle:

pour une 0 « />

L'inégalité de triangle inverse implique que la fonction d'objectif est continue par rapport à la topologie qui s'induit.

normes équivalentes

deux normes et définies sur le même espace vectoriel ils sont équivalent s'il y a deux constantes et strictement positif tel que:

pour chaque élément de . Deux normes équivalentes définissent la même structure topologique.

Par exemple, la multiplication d'un standard pour une constante positive fixe, vous obtenez un niveau équivalent à la précédente.

dimensions

Toutes les règles définies sur un espace vectoriel fini dimensions Ils sont équivalents. les règles sont notamment, la et décrit ci-dessus.

Toutes les normes de définissable puis induire la même topologie, équivalente à la topologie euclidienne norme .

Taille infinie

En dimension infinie, il existe de nombreux exemples de normes non équivalentes. Prenons comme exemple les espaces précédemment défini. Donc, pas deux politiques équivaut à une autre.

bibliographie

  • (FR) Nicolas Bourbaki, chapitres 1-5, en espaces vectoriels topologiques, imposte, 1987 ISBN 3-540-13627-4.
  • (FR) Eduard Prugovečki, La mécanique quantique dans l'espace de Hilbert, 2, Academic Press, 1981, p. 20, ISBN 0-12-566060-X.
  • (FR) François Trèves, Topologiques espaces vectoriels, et noyaux, Academic Press, Inc., 1995, p. 136-149,195-201,240-252,335-390,420-433, ISBN 0-486-45352-9.
  • (FR) S. M. Khaleelulla, Dans les espaces de contre-vecteur topologiques, Notes de cours en mathématiques, vol. 936, Springer-Verlag, 1982, p. 3-5, ISBN 978-3-540-11565-6, Zbl 0482,46002.

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