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en mathématiques, le concept de propriété Elle correspond idée intuitive d'un caractéristique qu'un objet peut avoir ou non.

Formellement, une propriété Elle est donnée par un formule avec un variable libre . Certains peuvent dire que vérifier la propriété (Ou que la propriété équivalente la valeur de ) Si elle (Plus souvent simplement écrit ).

Pour simplifier la notation, généralement la propriété est identifie avec la formule et ensuite écrire plutôt ou .

Alternativement Définition

Une autre définition est souvent donnée est la suivante: une propriété Il est simplement donné par un ensemble ; dira que vérifier la propriété (ou la valeur de ) si .

Comme dans la première définition, dans la pratique, il utilise toujours une notation simplifiée dans laquelle une propriété et l'ensemble qui définit l'appel sont le même objet . Il dit alors que vérification si vous venez .

Cette deuxième définition (qui définit essentiellement une propriété en tant que relations unaire) Il est pas exactement équivalent au premier.

Étant donné un ensemble il est simple de trouver la formule correspondant : Il sera tout simplement fonction de l'indicateur de ; puis une propriété définie par un ensemble peut également être défini avec une formule. Mais l'inverse est pas vrai: les éléments qui vérifient une formule peut constituer un leur classe, et dans ce cas l'ensemble correspondant Il n'existe pas.

Par exemple, dans la théorie des ensembles Zermelo - Fraenkel, la propriété d'être ordinal peut être défini dans le premier mode, mais pas dans la seconde, étant donné que la classe des nombres ordinaux est propre.

D'autre part, dans de nombreuses situations, il y a plus de formules ensembles, et vice versa - de abstraire unique propriétés, il propriétés sont formalisées avec la deuxième définition, mais pas la première.

Par exemple, les sous-ensembles de nombres naturels ont la du continu, mais les formules exprimables ont la cardinalité du nombrable; puis les propriétés selon la deuxième définition sont beaucoup plus que selon le premier.

Dans la pratique, la première définition est peut-être considérée comme plus lourde mais plus générale, car il peut rarement judicieux de définir une propriété en fonction d'un ensemble ne peut pas être définie par une formule. De plus, il est ainsi certainement plus constructive.

Exemples

  • Le « un même nombre« Il est défini par la formule .
  • Le « un ensemble totalement ordonné » est défini par la formule
  • Les propriétés mentionnées ci-dessus « être un nombres ordinaux« Elle est donnée par la formule .
La collection d'articles qui vérifient cette formule Il n'est pas un ensemble.

Articles connexes

  • Relation (mathématiques)