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en mathématiques, en particulier dans le domaine de la 'analyse fonctionnelle et la théorie spectrale, la spectre un transformation linéaire entre espaces vectoriels Il est la généralisation du concept de jeu valeurs propres pour matrices.

Le concept du spectre est généralement introduit dans algèbre linéaire dans le contexte de transformations linéaires (limitée) entre les espaces vectoriels de dimension finie, et est prolongé à partir de l'analyse fonctionnelle au cas de opérateurs linéaires limité, et non limité dans les espaces vectoriels de dimension infinie. Les opérateurs ne sont pas souvent limitées, il est demandé que fermé.

si est un opérateur linéaire limité défini sur une espace de Banach sur le terrain , et il indique la fonction d'identité sur , le spectre de Il est l'ensemble des nombres de telle sorte que Il ne dispose pas d'un inverse qui est un opérateur linéaire limité. si Il est une valeur propre de , puis est pas bijective et donc son inverse Il ne se définit pas. Toutefois, l'opérateur Il peut toujours pas un opérateur inverse: par conséquent, le spectre d'un opérateur contient toutes ses valeurs propres, mais ne se limite pas à eux.

On peut montrer que chaque opérateur linéaire sur un nombre limité espace de Banach complexe Il a un spectre non vide. En outre, les opérateurs des espaces infini dimensions Ils ne peuvent pas avoir des valeurs propres, par exemple sur la espace de Hilbert ℓ2 l'opérateur de changement unilatéral Il n'a pas des valeurs propres.

Spectre d'opérateurs bornés

les deux un opérateur linéaire limité définie sur un espace de Banach complexe .

il définit ensemble résolutive de tous de nombres complexes de telle sorte que l'opérateur Il est réversible, ce qui a un inverse qui est un opérateur linéaire limité.

il définit résolvant de la fonction:

Le spectre de Il est l'ensemble des nombres complexes qui ne font pas partie de la résolution, ou de telle sorte que l'opérateur Il n'est pas réversible.[1]

depuis est un opérateur linéaire, si son inverse existe, il est linéaire. De plus, pour théorème du graphe fermé l'inverse d'une opérateur linéaire limité Il est limité. Il en résulte que l'ensemble résolutive est l'ensemble des valeurs qui bigettivo.

Le spectre d'un opérateur ne peut pas être vide, et nous pouvons distinguer trois de ses sous-ensembles disjoints:

  • il définit spectre ponctuel ou discret de l'ensemble de valeurs propres de , ou des nombres complexes de telle sorte que:
Les valeurs propres sont donc les nombres tels que , ou : En fait, la fonction n'est pas réversible si son noyau est non seulement constitué par le vecteur nul, soit il y a des vecteurs tel qu'il ya un que . De manière équivalente, Il est la valeur propre ssi Il n'est pas ou injectait ssi .
  • il définit spectre continu de l'ensemble des nombres de telle sorte que Il ne se limite pas, en dépit d'être densément défini.
  • il définit spectre résiduel de l'ensemble des nombres qui ne sont pas des valeurs propres et de telle sorte que l'opérateur a image épais en .[2]

Le spectre comprend l'ensemble desdites valeurs propres valeurs propres estimés, qui sont les de telle sorte que Il ne se limite pas ou n'existe pas. Cela permet une subdivision de spectre différent:

  • il définit spectre en temps opportun approchée l'ensemble des nombres pour lesquels il existe une séquence de vecteurs unitaires de telle sorte que:
Le spectre en temps opportun contient le approximée spectre de points, et pour un opérateur limité est jamais vide.
  • il définit pur spectre résiduel l'ensemble des nombres pour lesquels Il est limité et l'image de Il est un sous-espace propre de .

Nous montrons que le résolutif fixé Il est un sous-ensemble ouvert , et que la résolution de est un fonction analytique définie sur un sous-ensemble ouvert et connecté au plan complexe en valeurs d'espace des opérateurs bornés sur . En particulier, Il est analytique pour chaque sous-ensemble maximal lié de .[3]

De plus, pour chaque fonctions et commuer et vous avez:

Ce rapport est appelé première formule résolutif.[4]

L'étroitesse du spectre résulte de 'extension série Neumann en . le spectre Elle est limitée par , et un résultat similaire démontre la fermeture: le spectre d'un opérateur limité est compact.

algèbre de Banach

Un opérateur limité peut être considéré comme un élément d'un algèbre de Banach complexe contenant de l 'unité . Le spectre d'un élément de , souvent, il est écrit ou tout simplement , Il se compose du nombres complexes de telle sorte que l'opérateur Il n'est pas réversible . si il est l'un espace de Banach Dans l'ensemble, puis l'ensemble de tous opérateurs linéaires limitées sur elle forme l'algèbre de Banach, appel .

Gamme spectrale

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Gamme spectrale.

Il définit rayon spectral de le nombre donnée par:

Il est démontré que:[5]

et cette limite existe toujours. En particulier, si il est l'un espace de Hilbert et il est autoadjoints nous avons:

ajouté opérateur Spectrum

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Opérateur ajouté et opérateur autoadjoints.

La définition de l'opérateur ajouté diffère selon que vous êtes dans un espace de Hilbert ou une espace de Banach. À cause de cela, le spectre et la résolvante d'un opérateur défini sur un espace de Banach coïncident avec celles de son composant, tandis que dans un espace de Hilbert, indiquant la valeur ajoutée avec , nous avons:

En outre, si Il appartient au spectre résiduel , puis Il appartient au point spectre dell'aggiunto . si Il appartient au spectre de point de , alors il appartient à la fois au spectre de points et à la fois le résidu de spectre .[6]

si il est autoadjoints sur un espace de Hilbert, vous aussi:

  • Il n'a pas le spectre résiduel.
  • Il est un sous-ensemble ,dire que les valeurs propres sont réelles.
  • Liés à des vecteurs propres valeurs propres distinctes sont orthogonales.

Un opérateur auto-adjoint d'un C * -algèbre il est dit positif si son spectre Il contient non seulement des nombres réels négatifs. Il est également positif si et seulement s'il existe un élément que . Un opérateur positif dans un espace de Hilbert (et donc sur le champ complexe) est auto-adjoint, et notamment normal.[7] Cela ne vaut pas sur un espace vectoriel réel.

la théorème spectral aussi précise qu'un opérateur limité sur un espace de Hilbert est normal si et seulement si elle est un opérateur de multiplication. On peut montrer que, en général, le spectre continu d'un opérateur de multiplication est limité tout le spectre.

Spectre des opérateurs compacts et normaux

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Opérateur compact et utilisateur commun.

Le théorème de Riesz-Schauder affirme que si est un opérateur défini sur une compact espace de Hilbert alors le spectre Il est fini ou dénombrable qui admet plus comme point d'accumulation. De plus, chaque Il a une multiplicité non nulle finie. Le spectre est présenté sous cette forme:

Notez qu'il n'y a aucune raison pour que Il pourrait être à la multiplicité des valeurs propres finie ou infinie. [8]

la théorème spectral stipule que toute matrice normale il est comme à un matrice diagonale par un matrice unitaire. En d'autres termes, pour chaque matrice normale existe une matrice unitaire et une diagonale pourquoi:[9]

En corollaire résulte que si et seulement si l'opérateur il est autoadjoints La base orthonormé n'a que des valeurs propres royauté, tandis que si il est unitaire la forme des valeurs propres est égal à 1. En particulier, les valeurs propres d'une matrice hermitienne sont tous réels, tandis que ceux d'un matrice unitaire Je suis du module 1.

Spectre opérateurs illimités

Vous pouvez étendre la définition du spectre pour opérateurs illimités sur un espace de Banach , les opérateurs ne sont plus des éléments de l'algèbre de Banach , et procéder de manière similaire au cas limité. Un nombre complexe Il est dit dans 'ensemble résolutive d'un opérateur linéaire si vous:

a un revers limité, à savoir s'il existe un opérateur borné de telle sorte que:[10]

la complémentaire ensemble résolutive est le spectre de . Un nombre complexe Il est donc dans le spectre si la propriété précédente ne s'applique pas, et vous pouvez classer le spectre exactement de la même manière que le cas limité. Le spectre d'un opérateur illimité est en général un sous-ensemble fermé, éventuellement vide, du plan complexe.

De la définition, il en résulte que Il ne peut pas être réversible dans le sens des opérateurs bornés. Étant donné que le domaine Il peut être un sous-ensemble de , l'expression:

n'a de sens que si l'image de Elle est contenue dans . De même:

implique que Il est contenu dans l'image .

Le fait que est un ensemble de résolutive signifie que Il est bijective. L'inverse est vrai si vous présentez une exigence supplémentaire est un opérateur fermé. pour la théorème du graphe fermé, en fait, si est bijective alors son application inverse (algébriquement) est nécessairement un opérateur limité. Il convient de noter que l'intégralité des Il est nécessaire d'invoquer le théorème du graphe fermé.

En revanche le cas limité, par conséquent, la condition qu'un nombre complexe est dans le spectre de Il devient purement algébrique: un opérateur fermé , Il est dans le spectre de ssi Il n'est pas bijective.

La résolution de l'opérateur

la résolution Elle peut être évaluée puisque les valeurs propres et les fonctions propres de . en appliquant à une fonction arbitraire nous avons:

Cette fonction a des pôles dans le plan complexe en correspondance des valeurs propres de . En utilisant alors la Procédé de résidus vous obtenez:

où l'intégrale est prise le long d'un bord qui comprend toutes les valeurs propres. supposant Elle est définie sur les coordonnées , à savoir:[11][12]

nous avons:

la fonction défini comme suit:

est le La fonction de Green pour et satisfait:[13]

exemple

Pensez à la décalage bilatéral sur donnée par:

où ^ représente la position zéro. Un calcul direct montre que Il n'a pas des valeurs propres, mais tous les avec Il est une valeur propre approximative. placement un vecteur:

puis pour chaque n, mais:

parce que est un opérateur unitaire, son spectre appartient au cercle unité. Ainsi, le spectre continu de Il est tout le spectre, et cela vaut pour une classe plus générale des opérateurs.

notes

  1. ^ Reed, Simon, Pg 188.
  2. ^ la changement unilatéral sur fournit un exemple: l'opérateur est un isométrie, et il est donc limité, mais non inversible parce qu'elle ne surriettivo.
  3. ^ Reed, Simon, 190 pg.
  4. ^ Reed, Simon, Pg 191.
  5. ^ Reed, Simon, 192 p.
  6. ^ Reed, Simon, Pg 194.
  7. ^ Reed, Simon, Pg 195.
  8. ^ Reed, Simon, Pg 203.
  9. ^ S. Lang, Pg 251.
  10. ^ Reed, Simon, Pg 253.
  11. ^ PAM Dirac, op. cit, pp. 65 ff, ISBN 0-19-852011-5.
  12. ^ PAM Dirac, op. cit, pp. 60 ff, ISBN 0-19-852011-5.
  13. ^ Bernard Friedman, op. cit, pp. 214, l'équation. 2.14 ISBN 0-486-66444-9.

bibliographie

  • (FR) Michael Reed, Barry Simon, Méthodes modernes de Physique mathématique, vol. 1: Analyse fonctionnelle, 2e éd., San Diego, Californie, Academic Press inc., 1980 ISBN 0-12-585050-6.
  • Serge Lang, algèbre linéaire, Turin, Bollati Basic Books, 1992 ISBN 88-339-5035-2.

Articles connexes

liens externes

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