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Dans le cadre de la théorie des probabilités, mesure de probabilité Il est le nom technique du fonction qui assigne à l'issue d'une expérience particulière, la probabilité que ces résultats sont réalisés. Il est important de noter que la mesure de probabilité n'attribue pas une probabilité à chacun des points espace d'échantillon (événements élémentaires), mais à des sous-ensembles de celui-ci (les événements).

Si l'attribution d'une mesure de probabilité spécifique a été débattue un fait unique, ou arbitraire pendant des années dans la communauté scientifique. L 'réglage axiomatique grâce à Kolmogorov Il ne se soucie pas ce qu'il concerne de définir et de formaliser le concept afin qu'il fonctionne à partir d'un point de vue mathématique.

définitions formelles

Mesure de la probabilité

Dans les termes les plus strictes, une mesure de probabilité, le cas particulier de mesurer, Il est une fonction sigma-additif définie sur un espace événementiel à des valeurs dans l'intervalle [0,1].

les deux un sigma-algèbre des sous-ensembles de et une mesure de probabilité définie sur elle.

En tant que mesure, Il doit satisfaire aux propriétés:

  • {Axiom pas négativité}
  • si Il est une séquence (une collection d'au plus dénombrable) d'ensembles mutuellement disjoints dans puis

{Axiom -additivité}

Comme la probabilité doit satisfaire la propriété supplémentaire:

  • {} Normalisation Axiom

En fait, si nous regardons nous nous rendons compte que la deuxième propriété des mesures est redondant (c.-à-peut être omis), en fait, depuis , et puisque c'est une union disjointe, la troisième propriété des mesures est calculée à partir de laquelle, en effet,

Il existe différentes classifications largement acceptés et utilisés: dans de nombreux textes jusqu'à présent appelé mesure de probabilité rebaptisé simplement probabilité et la notation (Qui, dans la littérature mathématique est généralement réservé à une mesure en vigueur générale, peu probable), il est remplacé par la notation .

Espace de probabilité

si il est l'un espace événementiel ou sigma-algèbre définie sur espace d'échantillon et est une mesure de probabilité définie sur , puis la triade il est appelé espace de probabilité. le couple Il est au lieu dit espace probabilizzabile.

un événement que 0 « /> il est dit événement non négligeable pour la probabilité de .

un événement que il est dit événement négligeable pour la probabilité de .

un événement que il est dit presque certain événement pour la probabilité de .

Du point de vue de l'organisation de ces arguments, la espace de probabilité est le noyau principal du modèle mathématique adapté pour représenter un phénomène aléatoire.

Attribution d'une mesure de probabilité

La théorie prévoit donc une fonction (mesure) peut être affectée à un événement dans les valeurs de probabilité respectives. La construction d'une telle fonction est généralement pas trivial: il suffit de sortir des exemples élémentaires du nombre d'événements qui composent l'algèbre sigma se développe « de façon exponentielle ». Si, alors, nous passons d'un espace d'échantillon terminé à une infinité dénombrable, la cardinalité du sigma-algèbre saute directement à partir du continu fini.

Comment il se fait en pratique la construction d'une mesure de probabilité?

Dans notre aide vient un théorème important théorie de la mesure connu sous le nom théorème d'extension qui assure que, sous certaines conditions, une mesure de probabilité définie sur une famille d'événements peut être prolongée d'une manière unique au sigma-algèbre engendrée par la famille.

Dans un peu stricte et même un peu inexact (mais suffisant pour garantir le résultat dans de nombreux cas pratiques), on peut dire que la famille initiale des événements prennent juste une partition appropriée de l'espace de l'échantillon, le cas échéant, comme d'habitude, des moyens assez pour répondre aux besoins de la rigueur de l'exposition actuelle. La famille doit dire qu'il est de nature à assurer la distinction des événements d'intérêt (si, dans le lancement d'un écrou, nous ne nous intéressons aux sorties impair ou pair, la partition est trop grossière, car il ne fait pas de distinction de l'étrange, alors que la partition il est trop tard, car il se démarque plus que nécessaire actuellement. Dans ce cas, la partition appropriée est: .

Exemples

Cas terminé: le rouleau de dés

Supposons que nous voulons étudier le lancement d'un écrou d6 (c.-à six côtés) équilibré et, pour être précis, d'être intéressés par les résultats individuels, à savoir les événements élémentaires.

Les événements d'intérêt seront représentés par les six premiers entiers qui forment déjà une partition de l'espace d'échantillon.

la espace de probabilité associée au phénomène sera où:

Il convient de noter que la mesure de probabilité n'a été affectée à une partition et que plus n'est pas nécessaire.

En fait, pour toute nécessité pratique, la probabilité d'un composé événement peut être obtenu en exploitant les propriétés de Algorithmiquement mesures de probabilité. Par exemple, la probabilité qu'aucun appât Elle est donnée par:

cas dénombrable: la cible carrée

Supposons que nous ayons une cible carrée de côté unitaire. Nous appelons un tel carré .

Maintenant, avec une coupe verticale, on divise le carré en deux rectangles égaux et appel celui de gauche.

Avec une coupe verticale en outre il divise le rectangle à droite en deux rectangles égaux. Encore une fois, nous donnons le nom à celui de la gauche que cette fois sera appelé .

En gros, nous créons une succession rectangles, de hauteur égale (unitaire) et la base de chaque moitié de la précédente, disjoints deux à deux, dont l'union dénombrable couvre toute la place. En d'autres termes, la succession Il est une partition carrée.

Supposons que vous lancer une fléchette sur la cible et d'être intéressés à comprendre ce que les chances de toucher un rectangle plutôt qu'un autre.

Ensuite, il est raisonnable d'utiliser les zones comme une mesure de probabilité:

Notez que de cette manière nous avons attribué une probabilité seulement à une infinité dénombrable d'événements, en dépit de l'ensemble de sigma-algèbre a la puissance du continu (parce que l'espace d'échantillon est dénombrable).

A noter également que tout fonctionne bien (toutes les propriétés sont réunies): par exemple, l'union dénombrable de la succession d'événements appartient (par définition) à la sigma-algèbre. Intuitivement, nous savons tous que cette union coïncide avec toute la place. les propriétés d'additivité dénombrable des mesures de probabilité est également satisfaite. En fait:

et

être le dernier série raison géométrique 1/2.

cas continu: le segment « > Modifier | changer wikitext]

les deux et les deux syndicats d'algèbre et fini d'intervalles disjoints connu sous le nom algèbre de Borel.

Donc, si alors il est du type Il est de la forme .

nous définissons .

Vous pouvez prouver que ainsi construit est une mesure de probabilité sur

Encore une fois le théorème de l'existence et l'unicité de l'extension garantit que la probabilité ainsi définie peut être prolongée d'une manière unique au sigma-algèbre .

Cette mesure de probabilité est appelée mesure de Lebesgue; sigma-algèbre Il est appelé sigma-algèbre Lebesgue.

La chargeuse-pelleteuse Il est l'un de l'espace de probabilité fondamentale dans laquelle nous sommes obligés de faire face juste pour faire face à un certain nombre infini de lancers d'une pièce de monnaie.

la liaison entre jets d'une pièce de monnaie et le segment unitaire est constitué par expansions dyadique.

La mesure de comptage

En tant que dernier exemple nous rapportons la mesure de comptage dont l'importance réside dans son utilisation: sur elle, en effet, est basé toute la section de la probabilité élémentaire dédiée à équiprobables espaces ou à ces phénomènes dont les résultats ont tous la même probabilité d'occurrence.

les deux un espace d'échantillon au plus dénombrable.

Les deux également le modulateur sigma-algèbre générée.

donné , les deux la fonction qui, sensiblement, compte le nombre d'éléments de A.

Une telle fonction est appelée la mesure de la numération.

évidemment prend des valeurs au fini si et seulement si aussi Il est terminé.

Nous considérons donc que le cas de fini et définir la mesure de probabilité suivante:

L'espace de probabilité est, nous le répétons, le représentant de tous les phénomènes aléatoires dont les événements élémentaires sont également probables à savoir, la quasi-totalité des phénomènes étudiés de probabilité élémentaire (tossing pièce, lancer les dés, l'extraction de la carte, l'extraction de balles dans une urne, roulette, lot, etc.).

bibliographie

  • P. Halmos (1950): théorie de la mesure, D. van Nostrand et Co.
  • P. Billingsley (1995): Probabilités et mesure, John Wiley Sons
  • A. F. Karr (1993): probabilité, Springer-Verlag
  • A. N. Kolmogorov (1950): Fondements de la théorie des probabilités, Chelsea Publishing Company NY

Articles connexes

liens externes