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en mathématiques, un intervalle est un sous-ensemble de reals formé par l'ensemble des points de la ligne réelle qui sont compris entre deux extrêmes et . Les extrêmes peuvent (mais pas nécessairement) être dans la gamme et peut être infinie.

définition

Formellement, un sous-ensemble des nombres réels ou d'une autre ensemble ordonné est un intervalle si pour chaque paire d'éléments et de , tout autre élément que Il est également . en les intervalles correspondent à des ensembles convexe.

Les intervalles de sont donc les ensembles suivants (où et sont deux nombres réels tels que ):[1]

  1. (Intervalle ouvert)
  2. (Intervalle fermé)
  3. (Fermé intervalle gauche)
  4. (Fermé à la plage à droite)
  5. un \}} « /> (Ouvert droit infini intervalle)
  6. (Intervalle fermé droit infini)
  7. (Ouvrir l'infini de la plage à gauche)
  8. (Intervalle fermé gauche infini)
  9. (La droite réelle)
  10. (Un point)
  11. l 'ensemble vide

points et ils sont extrémités intervalle. Ainsi, un support indique que l'extrême partie de la gamme, tandis qu'une parenthèse Il indique qu'il y appartient. Une autre notation utilise et respectivement à la place de et . Les deux notations font partie des normes ISO 31-11 et l'ISO 80000-2 ultérieure [2] comme équivalent, bien que la notation qui implique l'utilisation de parenthèses pour indiquer les intervalles ouverts à la fois en termes absolus, le plus largement utilisé.

Les quatre premiers intervalles ont longueur , les cinq ont longueurs suivantes interminable, le point et l'ensemble vide ont une longueur .

L 'intervalle unitaire Il est l'intervalle fermé .

propriété

  • L 'union et l 'intersection deux intervalles ayant intersection non vide est une gamme.
  • L 'image d'un intervalle au moyen d'un fonction continue de en Il est encore un écart.
  • Un sous-ensemble de la ligne réelle est un intervalle si et seulement si elle est lié.
  • Un intervalle est compact si et seulement si elle est .
  • Chaque intervalle (même infini) est homéomorphe à un, et un seul, de ces cinq intervalles: un point, , , ou l 'ensemble vide.

alternatives Notations

la symbole ÷ appelé Obelus, Il est utilisé en Italie pour indiquer une plage numérique. Par exemple 3 à 7 signifie « trois à sept », y compris.

notes

  1. ^ Manetti, M., p. 10
  2. ^ ise.ncsu.edu, http://www.ise.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf .

bibliographie

  • Marco Manetti, topologie, Springer, 2008 ISBN 978-88-470-0756-7.

Articles connexes

  • intervalles en tout ensemble ordonné
  • nombres réels