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NURBS est un acronyme qui signifie Base rationnelle non uniforme splines, traduisible en « splines rationnelles non uniformes définies par une base », une catégorie de courbes géométriques utilisé dans infographie pour représenter des courbes et des surfaces.

Un NURBS est une représentation mathématique que le logiciel, tels que les systèmes CAD, Ils utilisent pour créer des objets géométriques, de définir la forme avec soin.

Les courbes NURBS sont une généralisation des courbes B-Spline et courbes de Bézier.

histoire

NURBS
Une courbe NURBS.
version animée

Avant qu'ils ont été inventés ordinateur, projets ont été dessinés à la main sur papier avec divers outils de dessin. Les règles ont été utilisés pour des lignes droites, des étriers pour les cercles et les rapporteurs pour les coins. Mais de nombreuses formes, comme la courbe libre de la proue d'un navire, ne pouvait pas tirer avec ces outils. Bien que ces courbes pourraient être tirées sur la feuille Freehand de dessin, les constructeurs de navires souvent besoin d'une version grandeur nature qui ne pouvait pas être fait à la main. Ces grands dessins ont été réalisés avec l'aide de bandes flexibles de bois ou autre matériau élastique, appels spline. La cannelure ont eu lieu vers le bas en position par un certain nombre de points prédéterminés, appelés « canards »; parmi les canards, l'élasticité du matériau de la cannelure signifie que la bande prendre la forme qui minimiserait l'énergie de la courbure, de manière à créer la forme la plus brutale possible pour être compatibles avec les contraintes. La forme peut être modifiée en déplaçant les canards.[1]

En 1946, les mathématiciens ont commencé à étudier la forme de la cannelure et la formule polynôme dérivé connu sous le nom courbe spline ou une fonction spline. I. J. Schoenberg nommé fonction spline compte tenu de sa similitude avec spline mécanique utilisée par les concepteurs.[2]

Lorsque les ordinateurs ont été introduits dans le processus de conception, les propriétés physiques de ces cannelures ont été conçues de manière à pouvoir modéliser mathématiquement et reproduits en cas de besoin. Les travaux d'avant-garde a été fait en France par l'ingénieur Pierre Bézier de Renault, et le physicien et mathématicien Paul de Casteljau de Citroën. Tous deux travaillaient presque parallèle, mais depuis Bézier a publié les résultats de leurs travaux, les courbes ont été appelés « Bézier », comme le nom de Casteljau est uniquement liée à sa algorithmes.

Dans un premier temps NURBS a été utilisé dans les emballages sont CAD propriétaires des constructeurs automobiles. Plus tard, ils deviendraient une partie du paquet standard infographie.

la interprétation courbes interactives et en temps réel et des surfaces NURBS a été mis à la disposition à des fins commerciales pour la première fois postes de travail de Silicon Graphics en 1989. En 1993, le premier modeleur NURBS interactif pour PC, appelé « NöRBS », a été développé par CAS Berlin, un petit start-up qui a collaboré avec l'Université technique de Berlin. Aujourd'hui, la plupart des applications graphiques informatiques professionnels, offrent une technologie NURBS, qui est souvent réalisé en intégrant un moteur de NURBS d'une entreprise spécialisée.

aspects théoriques

la géométrie NURBS a cinq caractéristiques importantes qui en font un choix idéal pour la modélisation assistée par ordinateur.[3]

  • Il existe plusieurs solutions basées sur des standards de l'industrie pour échanger la géométrie NURBS. Cela permet à un grand nombre d'utilisateurs de pouvoir déplacer leurs modèles géométriques de valeur entre les différents modèles, le rendu, l'animation et l'analyse technique. Les informations stockées sur la géométrie peut être réutilisé dans l'avenir.
  • NURBS ont une définition précise et bien connue. Les mathématiques et l'informatique de la géométrie NURBS est enseignée dans les grandes universités. Cela signifie que les fournisseurs de logiciels spécialisés, des équipes d'ingénierie, bureaux d'études industrielles et maisons d'animation qui ont besoin pour créer des applications logicielles personnalisées, peuvent trouver des programmeurs qualifiés qui sont en mesure de travailler avec la géométrie NURBS.
  • NURBS peuvent représenter avec précision les deux objets géométriques standards (tels que des lignes, des cercles, des ellipses, des sphères et des tores), qui géométrie de forme libre, comme des carrosseries de voiture et les corps humains.
  • La quantité d'information nécessaire à la représentation NURBS d'un élément géométrique est beaucoup moins que la quantité d'informations nécessaires pour représenter la même géométrie par approximations du maillage.
  • La règle d'évaluation d'un NURBS, discuté ci-dessous, peut être mis en œuvre sur un ordinateur de manière efficace et précise.

courbes NURBS et les surfaces se comportent d'une manière similaire, dans lequel la terminologie technique les concernant est presque le même. Une courbe NURBS est définie par quatre caractéristiques: degré, la sommets de contrôle, la noeuds et estimation de la règle.

Il existe deux types de courbes NURBS: les courbes du PE passent par les points d'entrée de l'utilisateur. Ceux-ci sont appelés points d'extrémité (EP - Points finaux), tandis que les courbes de CV à la place seront uniquement aborder les points entrés. Les points inscrits sont appelés sommets de contrôle (CV - sommets de contrôle), appelés dans certains programmes points de contrôle.[4]

degré

Le degré est un entier positif. Habituellement, une valeur de 1, 2, 3 ou 5, bien qu'il puisse être un nombre entier quelconque.

Habituellement, les lignes et polylignes NURBS ont un degré 1, cercles NURBS sont degré 2, et la plupart des courbes de forme libre a de grade 3 ou 5. Au lieu d'indiquer le degré de la courbe avec le nombre respectif, vous pouvez utiliser la termes linéaire, quadratique, cubique, et quintique. Linéaire signifie degré 1, le degré moyen quadratique 2, cubique de degré 3, et des moyens de quintique degré 5. Les courbes cubiques sont les plus fréquemment utilisés. Les courbes de la cinquième et sixième ordre sont parfois utiles, mais les courbes de commandes plus élevées ne sont pratiquement jamais utilisés car ils conduisent à des problèmes numériques internes et ont tendance à exiger des temps de calcul disproportionnés. La note 1 crée des lignes polygonales; plus le degré est élevé, plus leur malléabilité (capacité « à faire des courbes très serrées).[4]

Parfois, vous pouvez vous référer à 'ordre d'une courbe NURBS. L'ordre d'une courbe NURBS est un entier positif égal à . Par conséquent, le degré correspond à . L'ordre d'une courbe NURBS définit le nombre de sommets de contrôle voisins qui influence chaque point de la courbe.

Vous pouvez augmenter le degré d'une courbe NURBS sans changer sa forme. En général, il est impossible de réduire le degré d'une courbe NURBS sans changer sa forme.

contrôle Vertices

NURBS
Les surfaces NURBS en trois dimensions peuvent posséder des formes complexes et organiques. Les points de contrôle influent sur la direction de la surface. Le carré décrit l'extension disposée à l'extrémité x / y de la surface. Modelé et rendu à Cobalt.

Les sommets de contrôle sont une rangée de points dans un nombre au moins égal à .

L'un des moyens les plus simples pour modifier la forme d'une courbe NURBS consiste à faire varier la position de ses sommets de contrôle.

A chaque sommet de commande, il est associé à un poids (À savoir, sa capacité à attirer la courbe). Sauf pour quelques exceptions près, les poids sont des nombres positifs. Lorsque la courbe d'un des sommets de contrôle ont tous le même poids (généralement 1), la courbe est appelée « non rationnelle ». Dans le cas contraire, il est appelé rationnel. La lettre R dans NURBS signifie « rationnel » et indique qu'une courbe NURBS peut être rationnelle. Dans la pratique, la plupart des courbes NURBS sont non-rationnelles. Certaines courbes NURBS (cercles et ellipses sont un exemple clair) sont toujours rationnels.

nœuds

Les noeuds (noeuds) sont une rangée d'un nombre égal à , où Il représente le nombre de sommets de contrôle. Cette séquence de nombres qui spécifie la définition paramétrique de la courbe est aussi appelée « vecteur des noeuds. » Dans ce contexte, le vecteur de mot ne signifie pas la direction 3-D.

La séquence des numéros de nœud doit satisfaire à plusieurs conditions techniques. Normalement, pour vous assurer que ces conditions techniques sont remplies, il est nécessaire que les numéros sont identiques ou grossissent à mesure qu'il avance vers la fin de la liste et limite le nombre de valeurs répétées à un pas supérieur au nombre de degrés. Par exemple, pour une courbe NURBS de degré 3 avec 11 sommets de contrôle, la séquence 0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9 est une séquence de noeuds satisfaisants. La liste 0,0,0,1,2,2,2,2,7,7,9,9,9 est pas acceptable car il existe quatre chiffres « 2 » et « 4 » est plus grand que le degré de la courbe en examen (3).

Le nombre de fois où la valeur des répétitions d'un noeud est appelé une « multiplicité du noeud. » Dans la séquence de nœuds satisfaisant l'expression ci-dessus (0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9), la valeur du noeud 0 a multiplicité 3, la valeur du noeud 1 a multiplicité 1, la valeur du noeud 2 a multiplicité 3, la valeur du noeud 7 a multiplicité 2 et la valeur du noeud 9 est multiplicité 3. il est dit qu'un noeud a la pleine multiplicité si sa valeur est répétée autant de fois que le degré . Dans l'exemple, les valeurs des noeuds 0, 2 et 9 présentent multiplicité complète. La valeur d'un noeud qui apparaît une seule fois est appelé un nœud simple. Dans l'exemple, les valeurs de 1 et 3 sont des nœuds simples.

Si une séquence de noeuds commence par un nœud de multiplicité pleine, est suivie par des noeuds simples, se termine par un noeud complet de la multiplicité, et toutes les valeurs sont également espacées, alors les noeuds sont appelés uniforme. Par exemple, si une courbe NURBS de degré 3 à 7 points de contrôle a une séquence 0,0,0,1,2,3,4,4,4, ses nœuds seront uniformes. Les nœuds 0,0,0,1,2,5,6,6,6, par exemple, ne sont pas uniformes. Nœuds qui ne sont pas uniformes sont appelés non uniforme. Le N et U représentent NURBS « inégal » et indiquent que les noeuds dans une courbe NURBS peuvent être inégales.

les valeurs de noeud en double dans une séquence de noeuds font une courbe NURBS moins contondant. Un nœud de multiplicité pleine au milieu d'une séquence de noeuds indique qu'il existe une zone de la courbe NURBS qui peut être associée à une discontinuité. Pour cette raison, certains concepteurs préfèrent ajouter et supprimer des nœuds, puis ajustez les sommets de contrôle afin d'obtenir les courbes ont des formes plus douces ou plus anguleux. Étant donné que le nombre de noeuds est égal à , quand est le nombre de points de contrôle, l'ajout de noeuds implique l'ajout de points de contrôle, ainsi que leur suppression implique la suppression des points de contrôle. Vous pouvez insérer des noeuds dans une courbe NURBS sans changer sa forme. La suppression de noeuds, en général, va changer la forme d'une courbe.

Les nœuds et les points de contrôle

Une idée fausse est le fait chaque noeud est couplé à un sommet de commande. Cela est vrai que pour le degré 1 NURBS (polylignes). les groupes sont présents pour NURBS de degré supérieur, de noeuds qui correspondent à des groupes de sommets de contrôle. Par exemple, supposons que vous avez un NURBS de degré 3 avec 7 points de contrôle et noeuds 0,0,0,1,2,5,8,8,8. Les quatre premiers sommets de contrôle sont regroupés avec les six premiers noeuds. Les sommets de contrôle de la deuxième à la cinquième sont regroupés avec les noeuds 0,0,1,2,5,8. Les sommets de contrôle de la troisième-sixième sont groupés avec les nœuds 0,1,2,5,8,8. Les quatre derniers points de contrôle sont regroupés avec les six derniers noeuds.

Certains modélisateurs qui utilisent des algorithmes anciens pour l'évaluation NURBS nécessitent deux valeurs de nœud supplémentaires pour un total de les noeuds. Le nombre de points d'extrémité (), De sommets de contrôle () Et le degré de la courbe sont liés par les formules (équivalents):

Règle des estimations

La courbe d'une règle d'évaluation est une formule mathématique qui attribue un numéro à un point.

La règle d'évaluation NURBS est une formule qui concerne la mesure, les points de contrôle et des noeuds. Il calcule les soi-disant fonctions de base B-splines. La lettre S en NURBS reposer « spline base. » Le nombre avec lequel vous commencez la règle d'estimation est dit « paramètre. » On peut penser à la règle d'évaluation comme une « boîte noire » qui reçoit un paramètre et génère la position d'un point. Le degré, les noeuds et les sommets de contrôle déterminent la manière dont cela fonctionne « boîte noire ».

Surfaces NURBS

NURBS
La surface définie par NURBS, notez les sommets de contrôle (ou points de contrôle) et la pièce de surface

NURBS peut également être étendue au cas à deux dimensions pour décrire des surfaces plutôt que des lignes. Dans ce cas, nous parlons de sommets de contrôle, patch surface, degré et les paramètres u et v. Dès l'instant où il est surfaces à deux dimensions, les coordonnées des points qui lui appartiennent sont déterminés par deux paramètres, appelés et . Les morceaux de surface (correctifs de surface) sont en quelque sorte l'équivalent de EP pour une surface NURBS. Le nombre de taches de surface () Vous en rapport avec le nombre de CV d'une manière analogue au PE:[4]

Toutes les surfaces NURBS sont dérivées d'une déformation spatiale d'une grille de côté des surfaces carrées (le fragment de surface) par côté.

références

bibliographie

  • Les A. Piegl et Wayne Tiller, Le livre NURBS, Springer-Verlag, New-York 1966 ISBN 3-540-61545-8

Articles connexes

  • Infographie
  • Infographie 3D
  • Les courbes de Bézier
  • surfaces de Bézier