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en statistiques, l 'efficacité Il est une mesure de l'opportunité d'une valuer. L'efficacité d'un correcte statistique pour un paramètre Il est défini comme suit:

est le 'informations Fisher de l'échantillon; Il est égal au rapport entre le minimum variance possible pour un estimateur et son variance efficace. la l'inégalité Cramer-Rao implique que .

estimateur efficace

Si un valuer un paramètre Il est tel que pour toutes les valeurs possibles du paramètre, valuer disent-ils efficace (En termes absolus). En termes équivalents, une valuer dire est efficace (dans un sens absolu) si son variance atteint limite inférieure Cramer-Rao .

Si un valuer efficace (dans un sens absolu) est également correct, il est un MVUE estimateur ou variance minimale estimateur sans biais (car 'Anglais Écart estimateur sans biais minimum). En effet, clairement, aucun autre estimateur correct sera caractérisée par une variance plus faible. Il est intéressant de constater que, au contraire, un estimateur de variance minimum correct (MVUE) n'est pas nécessairement efficace dans un sens absolu: il pourrait exister un estimateur déformé dont la variance atteint la limite inférieure Cramer-Rao.

efficacité asymptotique

quelques-uns estimateurs résultant dans le sens absolu que l'efficacité asymptotiquement, par exemple, si la taille de l'échantillon qui sont fonction tend vers l'infini. On parle dans ce cas d'estimateurs asymptotiquement efficaces. Tel est le cas, par exemple, les estimateurs de maximum de vraisemblance.

Exemples

Considérons un échantillon de taille extrait d'un population normale avec valeur attendue et variance unitaire (par exemple, ).

L'échantillon moyen échantillon , défini comme suit:

il a variance égal à . Cette valeur est égale à l'inverse de 'informations Fisher de l'échantillon, et donc, pour la l'inégalité Cramer-Rao, la moyenne de l'échantillon est un estimateur efficace dans un sens absolu.

Considérons maintenant la médiane échantillon; il est l'un estimateur biaisé, mais substantiel pour . En particulier, pour la distribution de la médiane de l'échantillon a approximativement normal, avec valeur attendue et variance . Son efficacité est donc d'environ 0,64. A noter également que c'est une mesure de l'efficacité asymptotique; dans les échantillons réduits (valeurs finies de ) Le rendement est des effets plus importants (par exemple, à il a un rendement d'environ 0,74). Il est également à noter que dans certaines applications, la médiane est préférée à la presse, sur la base que sa plus grande robustesse (moins de sensibilité à la présence de valeurs aberrantes dans l'échantillon) serait compenser la faible efficacité.

efficacité relative

Considérons deux échantillons statistiques, et , estimateurs pour le paramètre ; le bon sens suggère que Il est « plus efficace » que si:

  1. son erreur quadratique moyenne (Ou MSE, de 'Anglais Erreur quadratique moyenne) Ne doit pas dépasser la pour chaque valeur possible prélevé ;
  2. l'erreur quadratique moyenne est inférieure à au moins une valeur de .

formellement,

, et qui vaut l'inégalité stricte.

L'efficacité relative de que Il est alors défini par:

bien que Il est en général une fonction de , Souvent, cela n'a pas eu lieu; dans ce cas, une valeur de inférieure à 1 indiquent que l'estimateur il est préférable (plus efficace), sans tenir compte de la valeur réelle .

Articles connexes

liens externes