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en mathématiques, un contraction ou Application de la contraction est un fonction par une espace métrique en elle-même de telle sorte que la distance entre l'image de deux éléments quelconques du domaine est inférieure à la distance des counterimages relatifs.

définition formelle

les deux un espace métrique. Elle définit une contraction fonction tel qu'il existe une constante réel qui satisfait la condition suivante:[1]

La plus petite valeur de pour laquelle il applique cette condition est dite constante Lipschitz de .

Certains auteurs définissent la condition ci-dessus contraction serrée, réservant le terme « contraction » de la propriété:[2]

propriété

Chaque contraction est Lipschitz, et alors uniformément continue sur . Les deux fait tel qu'il existe un nombre réel qui détient pour tout

si il tombe dans le cas de la contraction.

De plus, pour chaque 0, \, x, y \ in X « />0 « /> de telle sorte que:

En termes simples pour obtenir la définition de la continuité uniforme.

Le théorème de Banach point fixe

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Théorème des contractions.

les deux un espace métrique complet pas vide. les deux une contraction de . Puis la carte Il admet seul et unique point fixe.[2]

Les garanties théorème que si Il est un espace métrique complet et non vide, le point fixe existe et est unique et que, tout fixe en , la séquence définie par récurrence converge vers le point fixe. Ce théorème est utilisé dans la démonstration de l'existence et l'unicité de la solution pour les équations différentielles ordinaires du premier ordre, sous des hypothèses appropriées, indiquées par Cauchy-Lipschitz. La séquence récursif défini ci-dessus, dans le cas où la fonction est une contraction d'un espace métrique (ou un sous-ensemble de celui-ci), en soi, constitue clairement également un procédé pour le calcul approximatif de la racine de l'équation fonctionnelle .

notes

  1. ^ W. Rudin, Pg 222.
  2. ^ à b Reed, Simon, Pg 151.

bibliographie

  • (FR) Walter Rudin, Principes de l'analyse mathématique, Milan, McGraw-Hill, 1991 ISBN 88-386-0647-1.
  • (FR) Michael Reed, Barry Simon, Méthodes modernes de Physique mathématique, vol. 1: Analyse fonctionnelle, 2e éd., San Diego, Californie, Academic Press inc., 1980 ISBN 0-12-585050-6.

Articles connexes