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la identité Bianchi les relations entre les dommages dérivées covariantes la tenseur de courbure un variété riemannienne et ils sont ainsi nommés en l'honneur de mathématique italien Luigi Bianchi. Ils trouvent de nombreuses applications dans les domaines des mathématiques et de la physique.

Nous rappelons que pour toute variété riemannienne, le tenseur de courbure satisfait aux symétries suivantes:

La dernière de ces identités a été découverte par le mathématicien Ricci, bien qu'il soit généralement appelé première identité de Bianchi ou identités algébriques de Bianchi, car il semble être équivalent à l'identité Bianchi illustré ci-dessous. (En outre, étant donné que la géométrie de Riemann la torsion est rien, la première identité de Bianchi est réduite à une identité différentielle pour le tenseur de torsion). Ces trois identités forment une liste complète des symétries pour le tenseur de courbure; à-dire donné un tenseur qui satisfait ces identités, on peut trouver au moins un collecteur de Riemann avec tenseur de courbure avec ces caractéristiques dans certains de ses points. On peut montrer (grâce à ces identités) que le tenseur de courbure de Riemann a composants indépendants.

De l'identité de trois illustré ci-dessus, il se pose un autre et très utile:

Parce que sur une variété de Riemann peut être considéré comme le dérivé covariant (Dans la direction ) Également pour le tenseur de courbure R, il en résulte que l'identité de Bianchi (souvent appelée seconde identité Bianchi ou l'identité du différentiel Bianchi) prend la forme suivante:

Supposons que vous avez choisi une carte différentiables , et donc j'ai choisi les coordonnées locales sur une ouverture le collecteur Riemann . Il est donc possible d'exprimer tout l'identité illustré ci-dessus en fonction des composantes du tenseur de courbure de Riemann:

antisymétrie
symétrie d'échange
première identité de Bianchi
Ceci est souvent écrit sous la forme
où les crochets désignent la partie antisymétrique fonctionnant au-dessus des indices indiqués. Cela équivaut à la précédente parce que la tenseur de Riemann Il est déjà antisymétrique dans ses deux derniers indices.
deuxième identité Bianchi
le point-virgule indique la présence d'un dérivée covariante. De manière équivalente,
et encore, il est utilisé le antisymétrie dans les deux derniers indices R.

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