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la conjecture de Hodge est un important problème non résolu de la géométrie algébrique. Il est une description conjecturale de la connexion entre la topologie algébrique un variété algébrique non singulière complexe, et sa géométrie comme cela est représenté par les équations polynomiales qui définissent le sous-variétés. La conjecture découle des résultats des travaux de William Vallance Douglas Hodge, qu'entre 1930 et 1940 enrichi la description De Rham cohomology, à inclure la présente structure supplémentaire dans le cas des variétés algébriques (bien que non limité à ce cas).

La formulation de la conjecture

les deux V un variété algébrique pas de taille inhabituelle n sur nombres complexes. V vous pouvez aussi penser comme des variétés de dimension 2n et en tant que tel possède des groupes de cohomologie qui sont des espaces vectoriels de dimension finie sur le complexe dont les dimensions sont détectables avec un indice qui varie de 0 à 2n. Fixons une valeur égale = 2k et nous noterons H la -e cohomology des groupes: il y a de décrire deux autres structures sur H.

Le premier est le décomposition de Hodge de H. Ce que nous savons décomposable H en somme directe de deuxk+1 désignent des sous-espaces qui est utilisé avec

H (0,2k), H (1, 2k-1), ..., H (2k, 0).

La somme correspondant à la conjecture que « central »,

H (k, k).

Pour la base de ces considérations v. la théorie de Hodge.

seconde structure est la structure dite rationnelle de H. Nous avons supposé que H à la fois le groupe de cohomologie à coefficients complexes (à laquelle il applique la décomposition de Hodge). En commençant par le groupe de cohomologie à coefficients rationnels, nous arrivons à une notion de classe de cohomologie rationnelle HPar exemple, vous pouvez utiliser comme base pour H une base à coefficients rationnels pour les classes de cohomologie et vous pouvez rechercher les combinaisons linéaires à coefficients rationnels de ces vecteurs de base.

En termes de ces structures, nous pouvons définir l'espace vectoriel H * affectant la conjecture de Hodge. Il est constitué par les transporteurs H (k, k) qui sont des groupes de cohomologie rationnelle. Il est donc un espace vectoriel sur les nombres rationnels de dimension finie.

La notion de cycle de algébrique

Certains mécanisme standard explique les liens avec la géométrie V. si W Il est une sous-variété de tailles n - k en V, nous appelons codimension k, elle donne lieu à un élément du groupe cohomology H. Par exemple, dans codimension 1, qui est le cas le plus accessible géométriquement en utilisant les sections au moyen d'hyperplans, la classe correspondante est située dans le deuxième groupe de cohomologie et peut être calculée en utilisant la première classe de Chern du faisceau de lignes.

On sait que ces classes, appelle traditionnellement cycles algébriques (Au moins, si vous parlez d'une manière un peu élémentaire), remplir les conditions nécessaires proposées par la construction de H *. Il est rationnel des classes cours qui se trouvent également dans le sommateur central H (k, k).

Ce qui soutient la conjecture de Hodge

Il dit que les cycles algébriques V tout l'espace sous-jacent H *. D'après ce qui a été dit, cela signifie que les conditions prévues, nécessaire parce qu'il a une combinaison de cycles algébriques, ils sont également assez.

Les implications géométriques

La conjecture est connue pour k = 1 et pour beaucoup de cas particuliers. Un codimension supérieur à 1 est très difficile à traiter, car ils sont généralement incapables de « trouver tous » au moyen de sections répétées avec hyperplans.

Dans ces cas, l'existence d'espaces H * pas réduit à zéro, il a une valeur prédictive pour la partie de la géométrie V dont il est difficile de révéler. Dans les exemples examinés H * est un objet qui peut être discuté plus facilement.

Il arrive aussi que lorsque H * Il est de dimension élevée l'exemple choisi comme V peut être considéré comme quelque chose de spécial: si la conjecture concerne ce que nous pourrions appeler les cas intéressants sont difficiles à prouver, plus plus nous nous éloignons d'un cas générique.

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