s
19 708 Pages

en analyse mathématique l 'équation d'onde, également connu sous le nom équation d'Alembert,[1] En général, il décrit la propagation d'un 'vague dans les variables spatiales et temporelles, y compris ondes sonores et électromagnétique.

Il est équation différentielle partielle hyperbolique d'une grande importance dans les différents domaines de la physique, y compris acoustique, électromagnétisme et dynamique des fluides. Des variantes de l'équation se trouvent également dans la mécanique quantique et relativité générale.

Historiquement, le premier problème dans lequel il a été dérivé est celui d'une corde vibrante instrument de musique, étudié par Jean le Rond d'Alembert, Euler, Daniel Bernoulli et Joseph-Louis Lagrange.

l'équation

La forme générale de l'équation des ondes se rapporte à une fonction la position et le temps . Il est un 'équation différentielle partielle hyperbolique dont l'expression générale est:[2]

Elle représente la vitesse de propagation des ondes. Pour une onde sonore qui se propage dans l'air vitesse qui est d'environ 330 mètres par seconde, tandis que pour une corde vibrante peut prendre des valeurs très différentes (par exemple, pour un moulante élastique hélicoïdale peut être réduite à un mètre par seconde).

Si l'onde se propage dans un milieu dispersif la vitesse Il dépend fréquence, et il doit être remplacé par vitesse de phase:

Dans le cas moins fréquent où la vitesse est fonction de l'amplitude, elle est fonction de et l'équation devient non linéaire.

La fonction inconnue Il exprime l'intensité des ondes dans une position particulière temps . Pour une onde sonore qui se propage dans l'air, par exemple, Il exprime la pression d'air dans différents points dans l'espace. Pour une corde vibrante, au contraire, il exprime le déplacement physique de la chaîne à partir de sa position de repos. le symbole indiqueopérateur de Laplace rapport à la variable de position , généralement vecteur. aussi Elle peut consister en un quantité scalaire ou d'un vecteur.

L'équation met également en évidence la proportionnalité directe entre la concavité de la fonction inconnue u avec son accélération. Une vague peut chevaucher un autre mouvement, et dans ce cas la fonction scalaire Il contient un facteur Mach (Qui a une valeur positive pour la vague qui se déplace le long de l'écoulement, et la valeur négative de l'onde réfléchie).

solution

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Vague (physique).

L'équation d'onde peut être écrite comme:[3]

puis:

Elle est la somme de deux ondes qui se propagent dans le sens inverse, comme l'a montré Jean le Rond d'Alembert.[4][5][6]

appel et nous avons:

ce qui donne:

De cette façon, l'équation d'onde prend la forme:[7]

dont la solution est la suivante:

Ces deux ondes qui se propagent dans le sens opposé à la vitesse .

fonctions et Ils sont déterminés dans les conditions initiales:

l'obtention de la formule de d'Alembert:[8][9]

Si classique et puis , bien que et peut être distributions. Par exemple, si elle est fonctions deltiformi la solution peut être considérée comme une impulsion qui se propage dans une direction.

On obtient de manière équivalente pour atteindre la solution en définissant les variables suivantes:

et compte tenu de l'équation d'onde:

Ils calculent ensuite les dérivés:

et les dérivés de exprimée en fonction de et :

En insérant ces expressions dans l'équation des ondes toutes les conditions sont simplifiées, mais le mélange dérivé:

La dernière équation implique que:

Ensuite, la solution est la somme de et , et le retour à leurs variables d'origine, nous avons:

où:

et de déterminer et Nous devons imposer les deux conditions initiales.

L'équation de la corde vibrante

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: L'équation de la corde vibrante et corde vibrante.
équation d'onde
Modèle pour la corde vibrante.

peut être obtenu de la manière suivante l'équation des ondes dans le cas unidimensionnel. Imaginer une rangée de particules massives auquel ils sont reliés entre eux par de petits doigts longueur limitée de chaque souple . Les doigts sont caractérisés par une masse négligeable de rigidité (Flexion), à savoir une résistance aux forces qui tendent à fléchir, qui est mesurée par . Pour ce modèle mesurer la distance de la position d'équilibre du corpuscule en place temps . L'équation du mouvement de la particule dans la position il est:

Nous supposons maintenant que de ces objets distribués uniformément sur la longueur . Ils ont une masse totale , tandis que rigidité ligne de total . Vous pouvez alors écrire l'équation ci-dessus sous la forme:

En passant à la limite et et vous obtenez:

est le carré de la vitesse de propagation dans ce cas particulier.

Équation scalaire multiples dimensions

La solution pour le problème des valeurs initiales de l'équation en trois dimensions peut être obtenue à partir de la solution pour une 'onde sphérique, et ce résultat peut être utilisé pour obtenir la solution en deux dimensions. Pour les espaces dimensionnels génériques sont considérés séparément le cas de la taille paires et impaires.

L'équation en trois dimensions

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: onde sphérique.
équation d'onde
fronts vague caractéristique d'un 'onde sphérique.

L'équation d'onde reste inchangé lors d'une rotation des coordonnées spatiales, qui est le laplacien invariante par rotation: vous voulez profiter de cette symétrie pour obtenir une solution qui ne dépend que de la distance radiale du point d'observation. Ces solutions doivent être telles que:[10]

et Ils sont respectivement la première et la seconde dérivée partielle par rapport à , et de même pour et . L'expression peut être écrite comme:

lorsque le montant Il vérifie l'équation à une dimension. Donc, il existe des solutions qui ont la forme:

et Ils sont des fonctions arbitraires correspondant aux deux ondes qui se propagent dans le sens inverse à une vitesse sphériquement .

Considérons une source qui émet une fréquence fixe constante avec une phase nulle pour et avec une amplitude égale à la crête-à-crête . que la distance de la source, l'amplitude de l'onde est donnée par:[11]

Une onde de ce type, caractérisé par une seule fréquence de propagation, est appelé monochromatique.

Une somme d'ondes sphériques est encore de la solution de l'équation d'onde, et de cette façon vous pouvez construire un nombre arbitraire de solutions. les deux une fonction arbitraire, et supposons que la forme Wave est un Dirac. Considérons une famille d'ondes sphériques avec centre et les deux la distance radiale à partir de ce point. Il a:

et si Il est une superposition d'ondes de ce type pondéré par la fonction puis:

De la définition de deltiforme fonction:

, et sont les coordonnées sur la sphère unité . il se trouve que il est t-fois la valeur moyenne de sur une sphère de rayon centré sur :

dont il résulte que:

La valeur moyenne est une fonction paire de , si:

puis:

qui fournit la solution au problème lié à la valeur initiale.

Selon le principe Huygens-Fresnel, chaque élément d'un front d'onde peut être considérée formellement comme source secondaire d'ondes sphériques en phase avec la source primaire et une amplitude proportionnelle à l'onde principale et la région de l'élément. La perturbation produite dans un point de l'espace, vous pouvez toujours obtenir une superposition de toutes les ondes sphériques secondaires qui atteignent ce point.

L'équation en deux dimensions

Dans un espace à deux dimensions à l'équation d'onde est de la forme:

Si elle est en tant que fonction définie dans l'une des trois dimensions d'espace qui est indépendant de la troisième dimension:

la formule quadratique en trois dimensions devient:

et sont les deux premières coordonnées sur la sphère unitaire, et est l'élément de surface sur la sphère. L'intégrale peut être écrite comme une intégrale sur le disque avec le centre et le rayon :

Equation dans toutes les dimensions

Vous voulez obtenir la solution:

pour , avec:

Dimensions impairs

les deux un nombre entier impair et est .[12] supposer et pour . appel par la relation:

nous avons que et la relation suivante:[13]

En outre:

0} u (x, t) = g (x ^ 0) \ qquad \ lim _ {(x, t) \ rightarrow (x ^ 0,0), x \ in \ Re ^ n, t> 0} \ u partial_t (x, t) = h (x ^ 0) « />

taille de

les deux un nombre entier pair et à la fois .[14] supposer et pour . appel par la relation:

nous avons que et la relation suivante:[15]

En outre:

0} u (x, t) = g (x ^ 0) \ qquad \ lim _ {(x, t) \ rightarrow (x ^ 0,0), x \ in \ mathbb {R} ^ n, t> 0} \ partial_t u (x, t) = h (x ^ 0) « />

équation d'onde inhomogène

L'équation des ondes non homogènes dans une dimension de la forme:

avec des conditions initiales:

la fonction il est appelé source car il décrit l'effet des sources d'ondes sur le milieu dans lequel ils se propagent. Par exemple, dans le électromagnétisme un rayonnement électromagnétique a comme un terme source densité de charge et / ou courant.

Pour obtenir la solution de l'équation avec des conditions initiales données peut exploiter le fait qu'il obéit au principe de causalité, à savoir à chaque point la valeur de que cela dépend et et la valeur de la fonction entre et . Ces quantités sont en fait les seuls présents dans la formule quadratique de d'Alembert, et la condition physique est due au fait que la vitesse de la lumière Il est le maximum vitesse propagation possible, et cela implique que l'amplitude de l'onde en un point dans l'espace et à un certain instant de temps est lié à l'onde d'amplitude à un point éloigné de la première à un autre moment, et non pas instantanément. cela se traduit en termes de calcul de la solution dans le fait que, dans un certain laps de temps pour chaque point il faut considérer la zone correspondant qui est causalement relazionata. Par conséquent, l'intégration de l'équation non homogène dans cette région:

et l'utilisation de la Le théorème de Green au membre gauche:

Vous obtenu par la somme de trois intégrales de ligne le long des limites de la région causalement connectée. Il a:

tandis que le terme intégral de l'expression précédente par rapport au temps est annulée car l'intervalle de temps est égal à zéro, de sorte que .

Pour les deux autres limites de la région qui est connue Il est constant, à partir de laquelle nous obtenons . Il a une fois de plus:

et de même:

L'addition des trois premiers résultats et en les insérant dans l'intégrale:

où il est expliqué les grandes lignes de l'intégrale de la fonction source. Cette solution est valable pour tout choix de compatible avec l'équation d'onde, et les deux premiers termes sont la formule d'Alembert solution de l'équation homogène. La différence réside alors dans le troisième terme, l'intégrale de la source.

Exemples

En général, la vitesse de propagation d'onde varie avec la fréquence de l'onde, un phénomène appelé dispersion. Une autre correction commune du modèle de base consiste dans le fait que, dans les systèmes réalistes, la vitesse peut dépendre de l'amplitude de l'onde, ce qui conduit à l'équation non linéaire:

En trois dimensions, par exemple pour étudier la propagation du son dans l'espace, en tenant compte:

L'équation des ondes élastiques dans les trois dimensions décrit la propagation des ondes dans un milieu isotrope homogène élastique. Les matières solides sont en grande partie élastique, de sorte que cette équation décrit des phénomènes tels que ondes sismiques de terre et des vagues ultrasonique utilisé pour révéler les défauts de matériaux. Cette équation est toujours linéaire, mais a une forme plus complexe que celle des équations précédemment présentées, car il doit faire ce compte à la fois le mouvement longitudinal de la transversale:

et Ils sont dits modules de Lamé qui décrivent les propriétés élastiques du milieu, Elle exprime la densité, est la fonction source qui exprime la force qui provoque le mouvement et Il est le déplacement. Notez que dans cette équation à la fois la force et le déplacement sont quantités vectorielles, et donc il est aussi appelé vecteur équation d'onde.

notes

  1. ^ Landau, Lifshits, Pg 148.
  2. ^ Evans, Pag 65.
  3. ^ Landau, Lifshits, Pg 149.
  4. ^ D'Alembert (1747), "Recherches sur la forme courbe Que mise en Une vibration de la corde tendue", Histoire de l'Académie royale des sciences et de Berlin belles lettres, vol. 3, pages 214-219.
  5. ^ D'Alembert (1747), "Suite des Recherches sur la forme Que Une courbe mise en vibration de la corde tendue", Histoire de l'Académie royale des sciences et de Berlin belles lettres, vol. 3, pages 220-249.
  6. ^ D'Alembert (1750) "Addition au Mémoire sur la forme courbe Que mise en Une vibration de la corde tendue," Histoire de l'Académie royale des sciences et de Berlin belles lettres, vol. 6, pages 355-360.
  7. ^ Landau, Lifshits, Pg 150.
  8. ^ Evans, Pg 68.
  9. ^ Eric W. Weisstein, Solution d'Alembert, MathWorld. Récupéré le 21 Janvier, 2009.
  10. ^ Evans, Pag 72.
  11. ^ RS Longhurst, et optique physique Géométrique, 1967 Longman, Norwich
  12. ^ Evans, Pag 74.
  13. ^ Evans, Pg 77.
  14. ^ Evans, Pag 78.
  15. ^ Evans, Pg 80.

bibliographie

  • Lev D. Landau, Yevgeny M. Lifshits, Physique théorique 2 - théorie des champs, Rome, Editori Riuniti Mir Publishers, 1976 ISBN 88-359-5358-8.
  • (FR) Lawrence C. Evans, Équations aux dérivées partielles, American Society mathématique, 1998 ISBN 0-8218-0772-2.

Articles connexes

liens externes