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en mathématiques, un nombre algébrique est un nombre réel ou complexe qui est une solution 'équation polynomiale de la forme:

0 « />, chaque est un plein, et Il est différent de .

Dans une définition équivalente il est nécessaire que les coefficients du polynôme sont des nombres rationnels. Il suffit de multiplier l'identité pour un multiple commun de tous les dénominateurs des coefficients pour attribuables à l'ensemble de l'affaire.

Des exemples de nombres algébriques

  • tous nombres rationnels algébriques parce que chaque fraction il solution ; donc aussi plein sont algébriques: tous les entiers sont les racines .
  • quelques-uns nombres irrationnels comment (la racine carrée 2) et (la racine cubique 3 divisé par 2) sont algébrique parce que les racines, respectivement, et . En général sont des nombres irrationnels algébriques définis par des entiers avec des radicaux et des opérations, même si pas toutes les solutions des équations peut être exprimé de cette manière (en raison en partie de la théorème Abel-Ruffini). Notez que l'irrationnel π et et cependant, ils ne sont pas algébrique: dire qu'ils sont transcendant. En général, tous ne sont pas algébrique réelle (comme d'ailleurs pas tous algébriques sont réels). On peut dire que le réel algébrique, à savoir l'intersection entre la algébrique et réelle, est formé par la algébrique et rationnelle irrationnelle.
  • L 'unité imaginaire () Et son contraire (), des solutions d'équations , et en général tous les nombres complexes , avec et rationnels, ils sont algébriques.

Degré d'un nombre algébrique

Si un nombre algébrique satisfait une équation telle que celle donnée ci-dessus avec un polynôme qualité et toute équation de rang inférieur, alors on dit que le nombre est un nombre algébrique de degré .

Pour tout entier Ils sont capables de algébriques : En fait, à travers le Eisenstein critère, vous pouvez construire polynômes irréductibles à niveau des coefficients rationnels quel que soit: ce sera la polynôme minimal certains algébrique, qui sera alors en mesure .

cardinalité l'ensemble des nombres algébriques

Celle des nombres algébriques est un dénombrable: En fait, l'ensemble des polynômes avec des coefficients entiers (ou rationnelle) est dénombrable et chacune des solutions polynomiales sont en nombre fini. L'ensemble de toutes les solutions, étant une union d'une famille dénombrable d'ensembles finis, est en dénombrable tour.

nombres transcendants

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: numéro transcendantale.

Si un réel (ou complexe) n'est pas un nombre algébrique, il est appelé numéro transcendantale. En conséquence de ce qui a déjà été dit algébriques, la cardinalité des nombres transcendants est égale à celle du champ de départ.

Le champ des nombres algébriques

Les opérations de somme, différence, produit et quotient de deux nombres algébriques génèrent toujours des nombres algébriques, par conséquent, ils forment un terrain, être indiqué par . On peut montrer que si nous supposons que les coefficients être des nombres algébriques alors toutes les solutions de l'équation sera toujours un nombre algébrique. Cela peut être exprimé autrement dit en disant que le champ des nombres algébriques algébriquement fermé. En effet, il est le plus petit champ algébriquement fermé qui contient les nombres rationnels, et est donc appelé clôture algébrique rationnelle.

Les nombres définis par les radicaux

Tous les chiffres qui peuvent être écrits en utilisant un nombre fini d'addition, soustraction, multiplication, division et extractions racine -exonérés (où est un entier positif) sont algébrique. L'inverse, cependant, n'est pas vrai: il y a des nombres algébriques qui ne peuvent être écrits de cette manière. Il est des solutions d'équations algébriques de degré supérieur au quatrième. Ceci est le résultat de théorie de Galois.

algébrique ensemble

Un nombre algébrique qui satisfait à une équation polynomiale de degré avec (Par exemple, un polynôme monic à coefficients entiers), on l'appelle entier algébrique. Des exemples d'entiers algébriques sont et et .

Somme, différence et produit des entiers algébriques sont à nouveau entiers algébriques, ce qui signifie que les entiers algébriques forment un anneau. le nom entier algébrique Il est dû au fait que les seuls nombres rationnels appartenant à cette classe sont des nombres entiers.

si est un la plage de numéros, son anneau des entiers est le sous-anneau des entiers algébriques en .

Des classes spéciales de nombres algébriques

Articles connexes

  • nombres réels
  • extension algébrique
  • théorème Lindemann-Weierstrass

liens externes

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