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en mathématiques, la inverse problème Galois qui consiste à déterminer groupes sol sont groupes de Galois quelques-uns extension galoisienne d'un fixe terrain fa (Si cette extension existe, il est dit que sol il est réalisable sur fa). Bien étudié pendant au moins un siècle, à ce jour (Février 2012), le problème est toujours pas résolu dans sa généralité.

La conjecture principale dans ce domaine est que chaque groupe a pris fin à la fois le groupe de Galois de certains polynôme à coefficients rationnel.

Il a dit que le problème inverse par rapport au problème « habituel » de théorie de Galois, qui exige de déterminer le groupe Galois d'une date d'extension du champ.

des cas particuliers

des résultats différents au problème dans des cas particuliers sont connus.

champs finis

Le problème de Galois inverse est complètement résolu en particulier pour champs finis: En fait, le groupe Galois de sur il est toujours cyclique, généré par "Frobenius automorphism, et donc aussi le groupe de Galois de sur (Qui, pour la théorème fondamental de la théorie de Galois, est son quotient) Est cyclique.

Groupes abéliens

Leopold Kronecker a montré que tous les groupe abélien Il est le groupe Galois d'une certaine extension du champ rationnel ; sa démonstration en réalité il fournit également une construction explicite, des propriétés des extensions générées par polynôme cyclotomique et l'exploitation du théorème de Dirichlet l'existence de l'infini Les nombres premiers en progressions arithmétiques et la classification des groupes finis abéliens.

Selon ce fait, un groupe commutatif est isomorphe à un produit direct des groupes cycliques, dont chacun peut être réalisé en tant que groupe de Galois d'une extension contenue dans un (Lorsque celui-ci est un racine de l'unité), Où p Il est une première congruent 1 Module n (avec n Ordre du groupe que nous allons considérer). L'existence de nombres premiers infiniment beaucoup congru à 1 Module t pour chaque t Il offre la possibilité de choisir pour chaque facteur un premier distinct; le champ (le composé) alors essayé le plus petit champ de tous les champs trouvés depuis les facteurs.

plus de résultats

Le théorème de Hilbert irriducilità (représenté par David Hilbert) Implique que pour atteindre un groupe Galois rationnel, il suffit de réaliser sur un terrain . Cela a conduit à la démonstration que la groupes symétriques et groupes alternants sont des groupes de Galois .

tous simples groupes, à l'exception de groupe de Mathieu M23, Ils ont été faits en tant que groupes de Galois sur .[1]

en 1954 Igor « Shafarevitch Il a démontré avec des méthodes de la théorie des nombres que tous les groupes solubles groupes de Galois sont une extension du rationnel.

Importance du camp de base

En éliminant l'obligation de porter le groupe sur un champ fixe, le problème devient facile à résoudre: le fait du groupe Galois du champ rationnelles fonctions le domaine de la fonction symétrique est le groupe symétrique Sn, et pour la Théorème de Cayley chaque groupe fini est isomorphe à un sous-groupe sol d'un groupe symétrique; donc pour la théorème fondamental de la théorie de Galois le groupe de Galois de K le champ fixe Ksol Il est isomorphe sol.

notes

bibliographie

  • Stefania Gabelli, Théorie de la théorie des équations et Galois, Milan, Springer, 2008 ISBN 978-88-470-0618-8.

liens externes