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en mathématiques, la espace topologique Il est l'objet de base de la topologie. Il est un concept très général de l'espace, accompagné d'une notion de « proximité » définie dans la plus faible possible. De cette façon, la plupart des domaines couramment utilisés en mathématiques (par exemple espace euclidien ou espaces métriques) Sont des espaces topologiques. Intuitivement, ce qui caractérise un espace topologique est sa forme, pas la distance entre ses points, qui ne peuvent être définis.

Tout au long de l'histoire ont été proposées diverses définitions de l'espace topologique, et il a fallu du temps pour arriver à aujourd'hui généralement utilisé, bien que cela puisse paraître assez abstraite, il adapte à tous les concepts de base de la topologie.

terrains

Nell 'analyse mathématique l'étude des concepts de limite et continuité ensemble de reals et espaces euclidiens Il utilise l'introduction du concept de rond et le concept étroitement lié ouvert. La notion de convergence et de continuité peut être exprimée qu'en termes de la notion de ouvert.

Avec la notion de espace topologique Il tente d'identifier les propriétés fondamentales des concepts qui définissent une notion de continuité - un peu analogue à celle qui a pour espaces euclidiens - puis envisager une idée abstraite de espace qui ne se produit que ces propriétés fondamentales.

La famille des ensembles ouverts (Ou tout autre espace euclidien) Répond aux trois conditions suivantes:

  • l 'ensemble vide et Ils sont ouverts;
  • l'union d'un montant arbitraire d'ouverture est une ouverture;
  • l'intersection d'un nombre fini d'ouverture est ouverte.

Ces trois conditions sont nécessaires et suffisantes pour démontrer un certain nombre de résultats importants, tels que la préservation de compacité et lien par fonctions continues. C'est pourquoi ils sont considérés comme la propriété fondamentale espace topologique Le résumé doit se produire.

Une ouverture espace euclidien profiter naturellement de nombreuses autres propriétés, qui, cependant, dans ce contexte abstrait ne sont pas nécessaires, de manière à assurer un niveau plus élevé de généralité, tout en permettant d'obtenir des résultats significatifs. Par la suite espaces topologiques définis dans cette plus grande généralité sont classés en fonction des propriétés supplémentaires qui peuvent les rendre plus ou moins « similaires » dans les espaces euclidiens.

Définition via « ouvert »

il définit topologie une collection de sous-ensembles un ensemble de telle sorte que:[1]

  • L 'ensemble vide et appartiennent à  : et
  • L 'union une quantité arbitraire d'ensembles appartenant à appartient à  :
  • L 'intersection deux ensembles appartenant à appartient à  :

Un espace topologique est une paire , où Il est un ensemble et une topologie. Dans un espace topologique qui met en place vous dites ouvert en .[1]

La complémentarité des ensembles ouverts sont appelés fermé, toujours par analogie avec ensembles fermés de

En outre, à partir de la troisième condition de la topologie, et par induction, on en déduit que l'intersection d'un nombre fini d'ensembles appartenant à appartient à .

On dit que la collection ouvert est une topologie pour . Si le contexte est clair que la topologie que vous parlez, par souci de concision, il indique l'espace comme tout.

définitions équivalentes (bien que rarement utilisé) peuvent être donnés par la collecte de fermé (Ie complémentaire ouvert), soit par les propriétés de intorni, ou encore par l'opération de fermeture.

Définition par « quartiers »

Cette définition, moins utilisée pour définir des procédures ouvertes, utilise la définition filtre sur un ensemble et est utilisé pour certains versets analyse mathématique.

Un espace topologique est une paire avec

  • un ensemble;
  • une fonction avec , que topologie, de telle sorte que:
    •  ;
    • filtre sur ;
    • que .

il est appelé milieu familial du point ou topologie du point , tandis que il est dit autour du point .

Exemples d'espaces topologiques

L'espace topologique
Les quatre premiers exemples forment un espace topologique. Les deux derniers pas: à gauche manque le syndicat {2,3}, dans le droit manquant l'intersection {2}.

Considérons l'ensemble .

  • collections et sont topologies sur ;
  • collection Il n'est pas une topologie sur En fait, dans manque d'unité et

Topologies sur un ensemble

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Rapport finesse.

Un ensemble fixe Il admet en général de nombreuses topologies différent. Par exemple:

  • , que topologie triviale
  • , que espace discret
  • , que topologie cofinie

ici est le 'pièces Vue d'ensemble de . Ainsi, la topologie triviale que et Ils sont ouverts, alors que dans la discrète tous les sous-ensembles sont ouverts.

deux topologies sur un ensemble ils sont comparable si l'un des deux est sous-ensemble de l'autre. si il contient , topologie est topologie plus fine .

Par exemple, sur topologie Il est plus fin .

L'ensemble de toutes les topologies sur X formant avec ce un rapport partiellement ensemble ordonné, dans lequel les topologies triviales et discrètes sont respectivement la moins fine et la fin de tous.

ensembles fermés

En plus de la définition donnée au début, il y a un autre équivalent et également présent, bien que moins commun, qui détermine la topologie en termes de fermé. Si nous partons de l'ouverture, nous appellerons des sous-ensembles fermés qui ont ouvert complémentaires. Si nous commençons par la fermeture sera ouvert les complément fermé.

A partir de la définition donnée au début, nous montrons les trois propriétés qui caractérisent la fermeture:

  1. , Ils sont fermés, en fait le complément de il est , que, pour la définition initiale est ouverte, et le complément il est dont il est également ouvert;
  2. l'intersection arbitraire de fermeture est fermé, en fait, l'intersection arbitraire complémentaire, en appliquant de Morgan, Il est l'union arbitraire de fermeture complémentaires, qui sont ouverts, et est donc ouverte;
  3. l'union finie de fermeture est fermée, et la preuve est analogue à la précédente.

Si nous prenons ces trois propositions que les propriétés qui doivent satisfaire une collection de sous-ensembles pour être une topologie, nous avons la définition fondée sur fermée.

Nous notons qu'un sous-ensemble peut être fermé, ouvert, ouvert ou fermé, ouvert ou fermé.

autres définitions

Nous présentons ici quelques concepts clés définis dans un espace topologique .

autour

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: rond.

Un ensemble contenant un point de est un rond de s'il y a une ouverture avec

Fermeture et la partie intérieure

les deux un sous-ensemble . la fermeture de Il est le plus petit ensemble fermé contenant (Défini comme l'intersection de l'ensemble I contenant fermé). De même, la à l'intérieur de Il est le plus grand contenu ouvert . Fermeture et une partie intérieure sont indiqués respectivement de la manière suivante

La fermeture de Il est également indiqué par . la frontière de Il est finalement défini comme

espace Hausdorff

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: espace Hausdorff.

le mathématicien Hausdorff Il a appelé son concept d'espace topologique, basé sur une définition axiomatique rond d'un point. Les environs doivent satisfaire aux axiomes suivants, appelés plus tard axiomes Hausdorff:

  1. en tout point Elle correspond à au moins une rond , contenant ;
  2. si et intorni sont du même point , puis aussi l'intersection entre et Il est un quartier de ;
  3. si Il est un quartier de et est sous-ensemble d'un ensemble , alors même Il est un quartier de ;
  4. pour chaque autour de il y a un quartier de que Il est autour de tout appartenant à ;
  5. deux points de données distincts et , il y a deux intorni disjoints et .

Un espace avec ces propriétés est appelé espace Hausdorff.

De manière équivalente, un espace est Hausdorff un espace topologique qui satisfait à la 'axiome de séparation (Pour deux points distincts et , il y a deux intorni disjoints et , ou le cinquième axiome Hausdorff).

généralisations

Parfois, vous avez besoin d'utiliser les outils de topologie, mais il n'y a pas un « ensemble de points ». Vous pouvez ensuite utiliser la topologie formelle, basée sur l'organisation et la convergence des ensembles comme une assise théorique; tandis que les topologies de Grothendieck sont des structures particulières définies catégories formelle qui permettent la définition de poutres de ces catégories, et avec eux la définition des cohomologies très généraux.

notes

  1. ^ à b W. Rudin, Pag 8.

bibliographie

  • Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970 ISBN 0-07-054234-1.
  • Munkres J. R., Topologie, 2e éd., Prentice-Hall, 2000.
  • Hausdorff, Théorie des ensembles, 2e éd., New York: Chelsea, 1962.
  • C. Berge, Les espaces topologiques y compris dans le traitement des fonctions multi-Précieuses, espaces vectoriels et convexité, New York: Dover, 1997.
  • V. Checcucci, A. Tognoni, Vesentini E., Les leçons du général Topology ', Milano: Feltrinelli, 1968.
  • J. L. Kelley, topologie générale, Princeton: Van Nostrand Company, 1955.
  • Marco Manetti, topologie, Springer, 2008 ISBN 978-88-470-0756-7.

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