s
19 708 Pages

en topologie, un intervalle uniforme il est l'un espace topologique Il a une structure uniforme, ce qui vous permet de définir des propriétés uniformes, telles que la état complet, la continuité uniforme et convergence uniforme.

Dans les espaces uniformes, vous pouvez définir certaines de ses notions de proximité et de la proximité entre les points, ce qui ne peut être établie avec l'usage exclusif de la structure topologique. Par exemple, les points de données , , , , vous pouvez spécifier que Il est plus proche de que est proche . L'espace uniforme peut être considérée comme une généralisation de espaces métriques et groupes topologiques, et permettre à la définition d'une grande partie des concepts de 'analyse mathématique.

La structure uniforme, et d'autres concepts liés à elle, a été explicitement définie par André Weil en 1937, par l'utilisation de pseudometriche. par la suite Nicolas Bourbaki Il a donné la définition en termes de entourage et John Tukey Il lui a donné en termes de revêtements uniformes. Ces définitions sont décrites dans les paragraphes ci-dessous[1].

définition formelle

L'uniforme d'une structure d'espace peut être définie de trois façons: par l'entourage, sous-ensembles de l'espace principal qui effectue un analogue fonctionnel de celui de ouvert une topologie, avec l'utilisation d'un pseudometrica, ou par un type particulier de revêtements de la même espace; comme indiqué dans la suite, ces trois définitions sont sensiblement équivalentes, et il est possible de faire correspondre les structures uniformes obtenues dans les différents cas.

entourage

Un espace uniforme Il est un ensemble Elle équipée d'une famille de sous-ensembles (appelé entourage) de produit cartésien qui remplissent les propriétés suivantes:

  1. tout entourage contient diagonale: ;
  2. ce qui concerne la fermeture de 'inclusionsi et , puis ;
  3. ce qui concerne la fermeture de 'intersectionsi et appartiennent à , alors il appartient ;
  4. si , alors il existe un entourage que et impliquer ;
  5. si , alors même appartient à .

Si vous manquez la dernière propriété, l'espace est dit presque uniforme.

Intuitivement, deux points appartenant au même entourage ont un certain degré de proximité; deux points sont l'entourage plus que beaucoup ont en commun. Avec cette interprétation, les propriétés ci-dessus les dates peuvent être décrites comme suit:

  1. chaque point est plus proche de lui-même;
  2. un plus grand ensemble de points définit un moindre degré de proximité;
  3. l'intersection entre deux degrés de proximité définit un nouveau degré de proximité;
  4. étant donné un certain degré de proximité, il y a une « deux fois » plus serré;
  5. si Il est proche , Il est proche .

Points appartenant à un entourage ils sont appelés U voisins; Si tous les points d'un ensemble donné sont en U voisins (c. ) il est dit U-petit.

Dans le cas d'un espace métrique , l'entourage sont définies comme l'ensemble des paires de points dont la distance est inférieure à une nombre réel fixe:

.

L'ensemble des points « à proximité » à un point fixe entourage appartenant Il est généralement écrit

un système de base Entourage est une sous-famille entourage de telle sorte que chaque entourage de la structure uniforme contient un entourage de ; pour la propriété 2, un système de clés est donc en mesure de définir l'ensemble de la structure uniforme.

Compte tenu de deux structures uniformes et , si il est dit que il est meilleur de .

Pseudometrica

Un espace uniforme est définie par un système de pseudometriche[2][3] comme suit: étant donné un pseudometrica , l'ensemble des points dont la pseudo-distance est inférieur ou égal au nombre réel est le 'image inversée dell 'intervalle réel :

.

L'ensemble de toutes les images inverses pour un pseudometrica donné forme un système fondamental d'entourages. Si l'on considère une famille pseudometriche , intersections finies de tous l'entourage, à leur tour forment un système fondamental.

Si la famille est pseudometriche nombrable, ce système est équivalent à celui généré par un seul pseudometrica; dans le cas d'une famille finie, pseudometrica l'enveloppe est génératrice supérieure de tous pseudometriche (le pseudometrica généré en prenant, point par point, la pseudometrica de la famille avec la valeur la plus élevée).

De manière plus générale, chaque structure uniforme peut être générée au moyen d'une famille de pseudometriche, peut-être pas dénombrable.

revêtements uniformes

Il est possible de définir un espace uniforme, par certains types particuliers de revêtements, dit revêtements uniformes. Un revêtement d'un ensemble est une famille de jeux dont union il contient :

.

deux revêtements de données et , il est possible d'établir un relation d'ordre entre eux comme suit:

.

Si la condition se produit ci-dessus, il est dit que le revêtement est un raffinage de . Un espace uniforme Il est un espace avec une famille de revêtements qui forme un filtre que le tri défini ci-dessus, ou les revêtements de la famille répondent aux propriétés suivantes:

  • Il est un revêtement uniforme;
  • si et Il est un uniforme de couverture, est donc ;
  • si il est sont des revêtements uniformes, il y a une même couverture les affiner à la fois.

Depuis un espace uniforme défini par l'entourage, nous définissons un revêtement uniforme s'il y a un entourage de telle sorte que, pour chaque , là par quoi ; tous les revêtements ainsi produits constituent un espace uniforme, conformément à la définition donnée ci-dessus.

A l'inverse, étant donné un espace uniforme défini par les revêtements sont tous entourage de soprainsiemi

,

Il est une couverture uniforme.

Exemples

Une vaste catégorie d'espaces uniformes sont des espaces métriques: Chaque métrique il est a fortiori un pseudometrica, et vous permet ensuite de définir une structure uniforme. Différentes mesures peuvent avoir la même structure uniforme; par exemple en multipliant une métrique pour une stable, structure uniforme induite ne varie pas.

Vous pouvez toujours trouver des mesures qui induisent différentes structures uniformes, mais égales structures topologiques; par exemple, alors que sur les deux mesures:

induire la même topologie, mais différentes structures uniformes, parce que l'ensemble est un entourage dans la structure uniforme induite par , mais pas celle induite par .

Les groupes topologiques sont une autre catégorie d'espaces uniformes[4]; étant donné un groupe topologique , l'entourage sont tous des sous-ensembles de contenant l'ensemble:

,

Il est un quartier de 'élément neutre de .

La structure uniforme que l'on appelle est appelé la bonne consistance, en ce que pour chaque élément la multiplication à droite Il est uniformément continue.

espaces topologiques et espaces uniformes

Chaque espace uniforme peut être équipé d'une topologie, définissant comme un sous-ensemble ouvert de telle sorte que pour chaque Il y a un entourage par quoi Elle est contenue dans . La topologie ainsi définie est appelée induite par l'uniformité; une topologie qui coïncide avec celle induite par la structure uniforme est appelée compatible avec elle. En général, une topologie donnée peut être compatible avec plus d'une structure uniforme.

L'espace topologique dont la topologie est compatible avec une structure uniforme sont appelés uniformizzabili; ils coïncident avec la espace complètement régulier.

Si l'espace est uniformizzabile, les trois propriétés suivantes sont équivalentes:

lié à la structure uniforme Propriétés

Plusieurs propriétés importantes peuvent être définies par la structure uniforme d'un espace; parmi ceux-ci la continuité uniforme et état complet.

continuité uniforme

Une fonction entre lesdits espaces uniformes est uniformément continue si les counterimages d'entourage (ou des revêtements uniformes) ou encore de l'entourage (ou des revêtements uniformes). Un isomorphisme uniforme est une fonction uniformément continue équipé d'un inverse uniformément continue.

La continuité uniforme joue pour espaces uniformes un rôle analogue à celui de continuité pour espaces topologiques; une fonction uniformément continue entre les espaces uniformes en effet de conserver les propriétés uniformes des espaces. Une fonction uniformément continue est toujours continue par rapport à la topologie induite.

état complet

La notion de complétude d'un espace métrique peut être étendue à des espaces uniformes; au lieu de convergence tout suites de Cauchy Il a suscité la convergence d'autres entités mathématiques, appelé les filtres de Cauchy, ou des réseaux de Cauchy.

Un filtre de Cauchy est un filtre qui contient arbitrairement petits éléments; plus précisément, pour un entourage il existe un élément de telle sorte que le filtre .

Un filtre convergent est toujours un filtre de Cauchy, et ne concerne pas en général le vice versa; les espaces dans lesquels chaque filtre de Cauchy est également convergeaient sont appelés Remplir des espaces uniformes. Parmi ceux-ci doivent être comptés les espaces Hausdorff compact.

Compte tenu d'une fonction uniformément continue à partir d'un ensemble épais en espace uniforme, dans un espace uniforme complet , Vous unique d'étendre la fonction de l'ensemble , le maintien de la continuité uniforme.

L'achèvement d'un espace uniforme

Comme les espaces métriques, il y a achèvement espace Hausdorff uniforme pour tout : C'est, il y a un uniforme de l'espace Hausdorff et une carte uniformément continue de telle sorte que pour chaque carte de dans un espace plein Hausdorff uniforme il y a une carte uniformément continue que .

L'achèvement de Hausdorff est seulement moins d'un homéomorphisme. Une construction possible est obtenue en prenant l'ensemble des filtres minimum Cauchy sur ; carte fait correspondre chaque point le filtre de quartiers , qui est un filtre de Cauchy minimal. l'image Il est dense dans ; si est Hausdorff, Il est injectable et Il est homéomorphe à . Dans le cas contraire, vous pouvez envisager la espace quotient obtenu en identifiant tous les points et par quoi , qui est toujours et Hausdorff homéomorphe à .

La structure uniforme de Il est défini comme suit: pour chaque entourage qui est symétrique (par exemple ), Deux l'ensemble de toutes les paires de filtres de Cauchy qui ont en commun au moins un V-plus petit élément; l'ensemble de tous Il est un système fondamental d'entourages.

notes

  1. ^ Bourbaki, chapitre 2
  2. ^ Les espaces sont également équipés de pseudometrica ils ont dit jauge d'espaces.
  3. ^ Bourbaki, chapitre 9
  4. ^ Bourbaki, chapitre 3

bibliographie

  • (FR) Nicolas Bourbaki, Générale topologies, ISBN 0-387-19374-X.
  • (FR) Nicolas Bourbaki, Générale topologies, ISBN 0-387-19372-3.
  • (FR) J. R. Isbell, Les espaces uniformes, ISBN 0-8218-1512-1.
  • (FR) I. M. James, Introduction aux espaces uniformes, ISBN 0-521-38620-9.
  • (FR) I. M. James, Les espaces topologiques et uniforme, ISBN 0-387-96466-5.
  • (FR) Convergence et Uniformité dans Topologie, ISBN 0-691-09568-X.
  • André Weil, Sur les espaces et la structure uniforme sur les topologies générales, en Loi. Sci. Ind., nº 551, 1937.