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En mathématiques, la Procédé de caractéristiques Il est un outil important pour la résolution utile équation différentielle partielle (PDE) de première instance, et en général, il applique à tous équations hyperboliques.

Par exemple, si vous avez une équation comme:

placement nous avons:[1]

où:

Il est un système équations différentielles ordinaires, et les deux premiers rapports sont appelés courbes traits équation. En intégrant les rendements:

avec constante d'intégration.

Une telle méthode est applicable, par exemple, tous les 'équation d'onde et tout 'équation de transport.

PDE de première instance

La méthode des caractéristiques vous permet de trouver la courbes ces traits, le long de laquelle un "équation différentielle partielle première instance se comporte comme un 'équation différentielle ordinaire. La recherche des caractéristiques est ensuite traduit par l'utilisation d'une nouvelle système de coordonnées lorsque le PDE est l'équation ordinaire le long de certaines voies. Une fois calculé l'équation différentielle ordinaire, il est résolu le long des courbes caractéristiques et transformé en une solution pour la première instance de la PDE.

Considérons la PDE quasi-linéaire (coefficients du dérivé d'un degré supérieur ne dépend pas des dérivés de l'inconnu) de deux variables indépendantes et :

et supposons qu'une solution est connu. Compte tenu de la zone de graphique en , un vecteur normal à cette surface a la forme:

En conséquence, l'équation ci-dessus équivaut à dire que la champ vectoriel est tangente à la surface à chaque point. En d'autres termes, le graphique de la solution est une union de courbes solution, les courbes caractéristiques de la PDE. Ils sont donnés par:

En fait, nous avons:

et il devient si ordinaire le long des caractéristiques du PDE:

Les courbes caractéristiques des équations peuvent être formulées par la Lagrange équations Charpit:

Si vous utilisez un paramétrage particulier de la courbe, les équations peuvent être écrites en tant que système d'équations différentielles ordinaires pour , et :

ces équations caractéristiques pour le système d'origine.

cas linéaire

Compte tenu d'un PDE sous la forme:

il est linéaire si les coefficients ne dépendent que des variables d'espace, et non par . Pour une équation linéaire ou quasi-linéaire des courbes sont paramétrées par:

de manière à satisfaire le composé à partir des caractéristiques du système:

cas Nonlinear

Considérons le PDE:

où les variables sont les dérivées partielles:

les deux une courbe en et une solution:

Différencier par rapport à la PDE , une solution que nous avons longtemps:

où la seconde résulte de l'application de la règle de chaîne à une solution , tandis que le troisième est obtenu à partir dérivée extérieure la relation . A partir de ces relations montre que:

Il est une constante. L'écriture des équations de manière symétrique, on obtient les équations de Lagrange-Charpit pour les caractéristiques:

D'un point de vue géométrique, la méthode des caractéristiques linéaires dans le cas ne peut pas être interprétée comme une demande que l'équation différentielle du cône Monge est partout tangente à la courbe de la solution.

Opérateurs différentiels linéaires

les deux un différentiables et les deux un opérateur différentiel ordre linéaire . Dans un système de coordonnées local nous avons:

quand indique la notation multi-index. la symbole principal de est la fonction définie sur cotangent donnée par:

sont les coordonnées sur fibrate induites par des coordonnées différentielles . Les transformations qui se lient à ces deux coordonnées font une fonction bien définie sur fibrate, dont les zéros sont les caractéristiques de . Une hypersurface définie par l'équation est un fonction hypersurface en si:

Transport équation

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Transport équation.

Dans le cas d'une dimension homogène, nous pouvons présenter les caractéristiques sous forme de courbes le long de laquelle une solution est constante. Dans le cas multidimensionnel, au lieu d'utiliser la invariants de Riemann, des quantités qui sont préservées et permettent de reconstituer la solution (pas plus généralement constante le long des caractéristiques). Par exemple, vous souhaitez rechercher une fonction solution de transport équation:

avec approprié les conditions aux limites:

et en supposant la simplicité constante. L'équation exprimant le montant représenté par le budget . En fait, il intègre dans la variable et en supposant au moins la classe par rapport au temps, afin d'échanger dérivé et intégral, on obtient que la variation dans le temps de l'intégrale de Elle est compensée par le flux net de les extrêmes de domaine:

Les caractéristiques du procédé consiste à rechercher une solution du type , où une variable (dans ce cas, la ) Est remplacée par une fonction arbitraire jusqu'à présent, l'un des autres variables. Il est à noter que:

et en remplaçant l'équation d'origine, nous avons:

En imposant le terme entre crochets disparaît nous obtenons le système d'équations suivantes:

Il est ensuite transformé en un problème dans un dérivées partielles d'équations différentielles ordinaires. les solutions sont les caractéristiques: en vertu des premières courbes d'équations sont les courbes le long desquelles la fonction Il est constant. Dans ce cas, les caractéristiques sont très simples à trouver, car une solution générique de la seconde équation est un faisceau de lignes droites:

En raison de ces lignes la solution ne change pas, vouloir connaître la valeur de il suffit de déplacer vers le haut de la caractéristique en passant à ce point jusqu'à ce qu'il rencontre une partie de l'arête sur laquelle est affecté ou une condition aux limites ou une donnée initiale. Si vous pensez que le problème défini tout au long , nécessaire de revenir en arrière il dispose d'au moment où les données initiales est attribué . Donc, si nous avons:

La solution est donc la vitesse de déplacement d'une vague dans la direction de la borne positive (négative) de . Les données initiales sont donc effectuée « de manière rigide » et chaque quantité est conservée. En particulier, si les données initiales est classe , chaque fois 0} « />, être chic .

L'équation de Burgers

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: l'équation de Burgers.

Dans le cas linéaire ne peut se produire qu'une classe de données initiales vous générez une solution discontinue, et quand cela se produit plusieurs efforts sont nécessaires pour donner un sens à des concepts tels que le dérivé en présence de solutions discontinues. Par exemple, considérons l'équation de Burgers non visqueux:

Il est une équation de transport dans lequel la vitesse de transport est donnée par la solution elle-même. Une telle équation sous la forme la plus générale est:

dans lequel le boîtier de Burgers , à savoir . disent-ils associé à . Pour appliquer la méthode des caractéristiques que vous recherchez sur lequel être préservée. L'équation des caractéristiques peut facilement être obtenue et il est:

Il est à noter que ne sont pas nécessairement gouvernées depuis la pente, qui coïncide avec , Elle peut varier d'un point à. Toutefois, étant donné qu'elle est imposée pour les obtenir , nous avons que Il est toujours constant le long des caractéristiques qui, par conséquent, sont encore en ligne droite (ne serait pas vrai dans le cas de non-homogène). De plus, Il ne définit pas implicitement. En fait, en appelant:

la théorème des fonctions implicites veille à ce que Il définit univoquement seulement si . Étant donné que:

si les données initiales et le flux supposent que les dérivées des configurations particulières peuvent équilibrer et la solution implicite n'a pas de sens, car les fonctions doivent être des relations uniques. En particulier, pour l'équation Burgers, , diminuant ainsi les données initiales « créer des problèmes ». Il peut être utile de considérer le flux suivant:

ce qui représente, par exemple, la circulation des voitures sur une route, lorsque la densité des machines est égale à . De plus, Il est la vitesse maximale à laquelle les voitures peuvent se déplacer, tandis que Il est la densité maximale des machines (correspondant à la circulation stationnaire). Dans ce cas, , donc si la configuration initiale est des machines avant lui ont DIMINUTION DE une route moins fréquentée par rapport à l'endroit où ils sont, et le trafic tend à snellirsi. Dans le cas d'augmenter les données initiales, en revanche, les machines ont devant eux plus de trafic et il y a tendance à la congestion, comme les machines avant qu'elles ne coulent plus au sol que derrière, depuis Il est en baisse.

notes

  1. ^ Eric Weisstein, MathWorld - Caractéristique, mathworld.wolfram.com, 2012.

bibliographie

  • (FR) Lawrence C. Evans, Équations aux dérivées partielles, American Society mathématique, 1998 ISBN 0-8218-0772-2.
  • (FR) R. LeVeque, Méthodes numériques pour les lois de conservation. Birkhäuser, 1992.
  • (FR) J. Cooper, Introduction aux équations différentielles partielles avec Matlab. Birkhäuser, 1998.
  • (FR) J. Thomas, Équations aux dérivées partielles numériques: Les lois de conservation et équations Elliptic. Springer, 1999.
  • (FR) R.U. Whitham, Vagues linéaires et non linéaires. Wiley, 1974.
  • (FR) Stanley J. Farlow, Équations aux dérivées partielles scientifiques et ingénieurs. Dover Publications, 1982.
  • (FR) Gilbert Strang, Introduction aux mathématiques appliquées. Wellesley-Cambridge Press, 1986.
  • (FR) Fritz John, Équations aux dérivées partielles, 4e édition. Springer, 1982.

Articles connexes

liens externes

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