19 708 Pages

1leftarrow blue.svgArticle détaillé: corde vibrante.

L 'équation de la corde vibrante est le cas d'une dimension 'équation d'onde, et il est utilisé pour décrire le phénomène de la corde vibrante. L'équation de la vibration de la corde libre (équation homogène) est:

tandis que l'équation pour les cordes vibrantes forcé (ou transversal) est:

En général, la solution dépend de deux conditions initiales:

qu'en cas de corde sans fin doit être défini dans toutes les conditions . Si la corde est terminée et la longueur , Il doit au contraire imposer des conditions supplémentaires à la variable :

D'Alembert Solution

La solution d'Alembert consiste dans le remplacement:

L'équation homogène est transformé en conséquence; dériver une première fois:

et dériver un second temps:

Donc:

dont la solution générale est donnée par:

Ils déterminent les deux fonctions génériques et imposer les conditions initiales:

à partir de laquelle vous avez:

Vous pouvez intégrer le deuxième système (changement de signe):

dans lequel il impose . Comme le système:

qui devient:

vous avez la liberté de vibration la solution:

des cas particuliers

  • Si les conditions initiales sont les suivantes:
la solution est:
  • Si les conditions initiales sont les suivantes:
notre solution devient:

Procédé de Fourier

Dans le cas d'une longueur finie de la longueur de la corde , avec les conditions aux limites supplémentaires, il est intuitif à utiliser le procédé séparation des variables ou « méthode de Fourier. » Elle consiste à trouver une solution particulière de l'équation homogène du type:

qui est, avec le produit de deux termes, dont l'un ne dépend que de la variable et l'autre que par la variable . on obtient l'équation résultante en substituant homogène et deux fois:

où:

Alors qu'il ya inégalité, les deux membres doivent être égales à la même constante:

à partir de laquelle vous obtenez deux équations à une seule variable:

Les solutions de ces équations sont du type:

Donc, la solution générale de l'équation homogène deviendrait:

.

les coefficients et Il est calculé en imposant des conditions aux limites:

où:

puis:

La solution négative est identique à la borne positive, donc nous considérons que le positif. Sachant que la solution est:

.

car il est aussi une solution toutes les sommes des solutions; Par conséquent, vous pouvez choisir et a ajouté:

Maintenant, vous pouvez trouver les coefficients et de manière à satisfaire les conditions initiales. La différenciation par rapport à celui-ci et l'imposition vous obtenez:

que l'évolution série de Fourier tout dans une série de seins . En fin de compte:

que substitué a la solution:

bibliographie

  • (FR) Molteno, T. C. A;. N. B. Tufillaro (Septembre 2004). « Une étude expérimentale de la dynamique d'une chaîne ». Journal de physique américain 72 (9): 1157-1169.
  • (FR) Tufillaro, N. B. (1989). « vibrations des cordes et chaotiques » Nonlinear. Journal de physique américain 57 (5): 408.

Articles connexes

  • équation d'onde
  • d'Alembert équation
  • hyperbolique équation différentielle PDEs
  • onde plane

liens externes

fiber_smart_record Activités Wiki:
Aidez-nous à améliorer Wikipedia!
aller