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Dans le cadre de équation différentielle, en particulier PDEs, Il est d'une grande importance à l'étude formulation faible les problèmes différentiels classiques, qui sont aussi appelés problèmes de dualité forte forme ou classique. La résolution d'un problème dans la forme faible implique de trouver une solution, ledit solution faible, dont dérivé ne peut pas exister, mais est toujours la solution à une manière très précise. ceux-ci sont très souvent les seules solutions que vous pouvez trouver.

Le concept de solution faible est liée à celle de dérivée faible: Ceux-ci définissent le terme dérivé également des fonctions intégrable mais pas nécessairement différentiables.

introduction

Un problème lié à une équation différentielle est dit bien lieu si elle possède une solution, si une telle solution est unique et elle dépend d'une manière continue à partir des données fournies par le problème.[1] Un problème bien posé contient toutes les caractéristiques idéales pour étudier sa solvabilité. La solution d'une équation de dérivées partielles d'ordre Il est défini de façon informelle solution classique ou solution forte si elle est fonction différentiable jusqu'à commander -e[1] et tous les dérivés existent et sont continues: pour résoudre un PDE dans le sens classique du terme, par conséquent, nous devons chercher une douceur ou au moins la classe . La plupart de l'équation différentielle partielle n'admet des solutions classiques, telles que équations de continuité. Si nous supposons une fonction n'est pas différentiables comme solution de problème bien posé une telle solution est une solution faible, aussi appelée « solution généralisée » ou « solution intégrale ».[2] La formulation faible d'un problème découle de la forte, et une solution forte à ce problème est la solution faible à ce problème.

vue d'ensemble

L'idée de base des formulations faibles est celui qui a également conduit à l'introduction en mathématiques distributions, ou « fonctions généralisées »: il est fonctionnel linéaire définie sur espace de représentation constitué par lesdites fonctions fonctions de test. L'espace de distribution est le double espace celle des fonctions de test. Ce sont des fonctions dans un sens plus général: certaines distributions, si considérée comme fonctions, peut aussi avoir aucune considération pour l'analyse traditionnelle (voir par exemple le Dirac). Intuitivement, si ce test « espace » est assez grand et si elle a certaines propriétés, il est raisonnable de penser à la reconstruction de la fonction (généralisée) de savoir comment elle affecte chaque espace de fonction de test.

Prise d'équation, pour trouver une solution faible se fait généralement avec multiplier les deux termes d'une fonction de test , puis intégrer les deux côtés sur tout le domaine d'intérêt. Ensuite, vous « téléchargement » les dérivés (intégration par parties) de la fonction sur la fonction de test assez loin pour être en mesure de demander la moindre régularité peut à la fois que . Pour effectuer les intégrations doivent être que sont au moins (Sinon, l'intégrale n'a pas de sens); Également être en mesure d'intégrer également les produits des dérivés doivent être qu'ils sont également espace de Sobolev , où indique l'ordre maximum de dérivation qui apparaît après le téléchargement des dérivés de sur . Par conséquent envisager une opérateur différentiel linéaire dans un ensemble ouvert en :

multi-index Il couvre un sous-ensemble fini de et les coefficients sont des fonctions suffisamment lisse de . l'équation , après avoir été multipliée par un fonction de test lisse et ayant un support compact en , il peut être intégré par des parties fois pour qu'il vient d'être écrit:

où l'opérateur différentiel Elle est donnée par:

Le nombre:

Il semble que chaque intégration par parties produit une multiplication par -1. l'opérateur est le 'opérateur ajouté de .

On peut donc voir que si la formulation d'origine (formulation forte), il faut trouver une fonction (Solution solide) définie sur , différentiables |α| -volte et tel que:

puis une fonction intégrable est une solution faible si:

pour chaque lissé à support compact .

Sur les domaines bornées une solution forte est une solution faible, parce que les procédures d'intégration sont licites pour les parties. S'il se pose le problème inverse, qui est, si une solution problème faible rencontre aussi le problème fort, vous voyez que Il ne peut pas être une solution forte si vous interprétez les dérivés dans le sens classique pour deux raisons:

  • la fonction appartient à et ne peut donc pas en général une dérivée seconde continue (il serait par ailleurs également ), Comme le demande la solution forte.
  • La formulation faible est même pas demandé Il est défini partout. pour chaque Lebesgue Il est logique, Il peut prendre des valeurs arbitraires, même dans une infinité dénombrable de points du domaine (plus précisément dans un ensemble avec mesure de Lebesgue quoi que ce soit, ou presque partout).

Cela explique la raison de considérer plus en fonction, mais comme une distribution. En supposant que l'interprétation et les dérivés au sens des distributions, on peut dire que Il répond au problème fort (au sens des distributions). Même en prenant les données sur les limites est problématique: comme indiqué plus haut, alors que la limite du domaine a toujours mesurer zéro, parler de la valeur de sur le plateau, il ne fait pas de sens classique. La solution à ce problème a donné le chiffre du bord en tant que limite (dans le sens de ) Classe de fonctions approximation support compact au sens de .

exemple

Pour illustrer ceci, le 'équation d'onde:

quand Il est différenciable en continu sur . En multipliant l'équation pour un douceur et support compact , et l'intégration des rendements:

Merci à Le théorème de Fubini Vous pouvez échanger l'ordre d'intégration, de sorte que l'intégration par parties le premier terme et la seconde:

Il est à noter que les intégrales allant de -∞ à ∞, mais sont essentiellement évalués sur un domaine fermé comme Il a un support compact. Il y a donc une fonction , qui ne peut pas être différentiable, satisfaisant à la dernière équation pour chaque mais qui est pas une solution à l'équation des ondes: cette solution est faible.

Par exemple:

Il est une solution faible, comme le montre l'intégration par parties sur les côtés de la ligne droite .

Lax-Milgram Lemme

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Lax-Milgram Lemme et théorème Babuška-Lax-Milgram.

les deux un espace de Banach. Vous voulez trouver une solution équation:

et , avec la double espace de .

la calcul des variations Il montre comment cela équivaut à trouver de telle sorte que pour tous Il applique:

Vous pouvez envisager une fonction de support ou de test.

La formulation faible du problème signifie qu'il faut trouver de telle sorte que:

la définition de la forme bilinéaire:

proposition

Le lemme de Lax-Milgram peut être appliquée à forme bilinéaire, bien qu'il ne soit pas la version plus générale. les deux un espace de Hilbert et une forme bilinéaire de qui est limitée:

et coercitif:

Ensuite, pour chaque Il n'y a pas de solution unique à l'équation:

et vous avez:

Les équations linéaires simultanées

Par exemple, dans le cas d'un système d'équations linéaires vous avez , et est un transformation linéaire. La formulation faible de l'équation:

Il est de trouver de telle sorte que pour chaque qui est l'équation:

désigne la produit intérieur.

parce que est une application linéaire est suffisante pour prouver les vecteurs de base :

En utilisant l'expansion comme combinaison linéaire des vecteurs de base:

vous obtenez le sous forme de matrice équation:

et .

La forme bilinéaire associée à une telle formulation est faible:

Il est à noter que toutes les formes de bilinéaire Ils sont limités et en particulier:

En ce qui concerne la coercivité, cela signifie que la partie réelle de valeurs propres de ne doit pas être inférieure à . Ceci implique qu'aucune valeur propre peut être nul, et le système est alors résolu. De plus, on peut estimer:

Il est la partie réelle plus petite prise par les valeurs propres de .

Exemple dimensionnelle

Considérons le problème suivant Poisson avec les conditions de bord mixte homogène:

À droite multiplier et à gauche pour une fonction de test , pour le moment précise pas qui appartient l'espace, et l'intégration par parties entre et nous avons:

Tirer parti alors les conditions aux limites pour vous pouvez écrire:

où est que doit se tenir de sorte que les sens font Intégrales. Souvent, en particulier dans l'analyse numérique, il est préférable d'effectuer l'échange incognita placement:

Elle est appelée « détection » de sur le bord. la fonction , en fait, elle assume les mêmes valeurs au bord de , de sorte que est rien à bord. aussi Il doit appartenir aussi , de sorte que par le remplacement, On obtient l'équation:

Maintenant, si vous choisissez comme l'espace d'espace fonction test:

puis et Ils sont dans le même espace. Ceci est très utile car il est possible d'appliquer la Lax-Milgram lemme pour vérifier si le problème est bien posé, à savoir si admet une solution unique, et si cela dépend de continuité à partir des données.

Formulation pour les équations elliptiques du second ordre

A 'équation différentielle linéaire dérivées partielles second ordre elliptique en variables indépendantes définie sur l'ensemble ouvert peut être écrit d'une manière générale:

où les variables sont toutes les fonctions .

Vous pouvez également écrire cette équation sous la forme:

prise et en .

La solution classique à ce problème consiste à la détermination d'une fonction qui satisfait l'équation dans sa forme générale, pour tous les transporteurs et qui satisfait également les conditions aux limites pour tous les transporteurs . Un tel problème n'est pas résoluble en général, et pour cette raison nous introduisons la formulation faible du problème.

Sa dérivation se compose de quatre étapes:

  • Multiplication des deux côtés par une fonction de test :
  • L'intégration des :
  • En utilisant le lemme vert pour réduire le degré maximum de dérivés:
avec normale à la frontière . Il est également possible de diviser le bord en fonction des conditions qui sont prévues à cet effet. supposant , où Il indique les points frontaliers où les conditions sont fournis et Dirichlet les points frontaliers où vongono équipés de conditions Neumann. L'équation ci-dessus peut alors se développer comme:
  • Détermination du plus grand espace de fonction telle que et les fonctions sont finies avec intégrante:
avec indiquant la espace de Sobolev.

La formulation faible demande donc à ce point la détermination de la fonction qui vérifie l'équation du dernier point. Il est clair que la formulation classique détermine une fonction qui satisfait encore la formulation faible.

notes

  1. ^ à b Evans, P. 7
  2. ^ Evans, Pag 8.

bibliographie

  • (FR) Lawrence C. Evans, Équations aux dérivées partielles, American Society mathématique, 1998 ISBN 0-8218-0772-2.
  • (FR) Peter D. Lax et Arthur N. Milgram, équations parabolique, en Contributions à la théorie des équations aux dérivées partielles, Annales d'études mathématiques, non. 33, Princeton, N. J., Princeton University Press, 1954, pp. 167-190. MR 0067317
  • (FR) Ciarlet G. P. (1978):La méthode des éléments finis pour Elliptic problèmes, Nord-Holland, Amsterdam, 1978.
  • (FR) Ciarlet G. P. (1991): "estimations d'erreur de base pour les problèmes en" elliptiques Manuel d'analyse numérique (Vol II) J.L. Lions y Ciarlet P. G. (éd.), Nord-Holland, Amsterdam, 1991, p. 17-351.

Articles connexes