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en mécanique des milieux continus, la relations constitutives (Aussi appelé équations constitutives, lois constitutives ou lois constitutives) Sont des relations mathématiques pour caractériser le comportement (macroscopique) des matériaux constituant un corps continu. Ils se complètent, ainsi que la cinématique et la description équations d'équilibre (la lois physiques), Le cadre de relations mécaniques un modèle de corps. De manière plus générale, en physique, les équations constitutives sont les relations entre les grandeurs physiques (souvent décrites comme tenseur) Qui sont spécifiques à la matière ou d'une substance, et non dérivée des budgets généraux.

Les relations constitutives sont un modèle théorique qui se traduit en termes mathématiques, les caractéristiques phénoménologiques du comportement d'un matériau. Dans la pratique, les relations constitutives définissent les différentes classes de les matériaux idéaux ce qui représente un modèle pour les matériaux réels. Plus précisément, ils sont représentatifs d'un comportement idéal particulier (élastique, plastique, visqueux, etc.) qui peuvent suivre les différents matériaux dans certaines circonstances.

La première relation constitutive (Ut tensioactive, sic vis) Il a été découvert par Hooke en XVIIe siècle et il est connu comme La loi de Hooke. Il est le cas de matériaux élastiques linéaires et il est encore aujourd'hui, sous forme généralisée, le plus largement utilisé dans la résolution des problèmes d'ingénierie. il était Antonio Signorini qui a d'abord officialisé au début du mois XX siècle, le concept de la Loi fondamentale comme rapport indépendant des rapports et spécifiques au matériau particulier du corps. Dans son sens moderne, le concept est lié à la formalisation donnée par Walter Noll en 1954.

En mécanique des milieux continus sont trois types de relations constitutives:

  • contraintes internes cinématiques possible déformations que le corps peut souffrir (par exemple, une obligation de rigidité ou incompressibilité);
  • des hypothèses sur la forme de la tensional état interne (Par exemple, l 'axiome Cauchy ou l'hypothèse selon laquelle les tensions sont de type hydrostatique seulement);
  • relations générales entre liaison état de stress et déformation du corps.

Entre autres, ils tombent dans ce dernier, les relations constitutives

  • de matériaux élastiques et hyperélastique,
  • de fluides Stokes et newtoniens
  • des matériaux élasto-plastique
  • des matériaux visqueux.
relation constitutive (mécanique)
Continue Cauchy en trois dimensions

Théorie de la constitutive

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: cauchy encore.

Les relations constitutives peuvent être phénoménologique ou résulter d'un général axiomatique qui fait partie de la théorie de la constitutive proposé par Noll. Il précise les restrictions de base que les liens doivent respecter afin d'être physiquement significatif, qui est, selon la réalité physique des observations expérimentales. La théorie des liaisons constituant est l'un des plus complexes chapitres de l'analyse mécanique des corps continus.

Les limites physiques de la théorie des lois constitutives sont exprimées par Noll par trois axiomes importants:

axiome de déterminisme
la état de stress d'un point P à l'instant t est déterminé par l'histoire passée de mouvement de tous les points du corps jusqu'à l'instant considéré, à savoir
l'action locale axiome
l'historique du mouvement de points placés à une distance finie à partir du point P ne sont pas impliqués dans le point P relation constitutive, à savoir, l'état de contrainte au niveau du point P est définie uniquement par l'historique du mouvement des points appartenant à un rond Fr.
axiome d'objectivité (ou d'indifférence matériau)
le comportement d'un matériau est indépendant du particulier système de référence (L'observateur) dans lequel il étudie le mouvement, à savoir les équations constitutives sont invariantes par rapport à rotations rigides système.

matériaux simples

En particulier, ils sont appelés matériaux simples ces matériaux pour lesquels l'historique du mouvement des points de l'environnement de P est simplement représenté par l'historique du gradient de mouvement en P et pour lequel, sur la base de l'axiome de l'action locale, les relations constitutives sont liées à la forme

La classe de matériaux simples englobe presque tous les matériaux d'intérêt physique et l'ingénierie. Elle montre que, placé la décomposition polaire du gradient de la déformation , la validité de l'axiome d'objectivité conduit à articuler la relation constitutive de matériaux simples sous forme réduite

qui est, le stress dépend de l'histoire passée du tenseur droit de déformation et la valeur courante du tenseur de rotation , et ne peut pas dépendre explicitement du paramètre de temps. De telles représentations de l'Acte constitutif se réfèrent toujours à tenseur des tensions Cauchy. Une représentation réduite équivalente de la liaison constituant des matériaux simples compatibles avec Noll est postule également le suivant

en termes de IIou tenseur des tensions nominales de Piola-Kirchhoff et l'histoire passée du tenseur de déformation verte . Un matériau dit aussi homogène Si les relations constitutives peuvent omettre la dépendance explicite sur la position . Dans ce qui suit, il est fait référence à des matériaux simples que et homogènes.

intérieur Contraintes Cinématique

Contraintes intérieures cinématique sur les déformations possibles des scalaires corporels continus sont représentés par les relations (ou systèmes de relations scalaires) en termes de déformation des descripteurs du type

ou sous des formes réduites équivalentes

En présence des contraintes internes de l'axiome du déterminisme des matériaux simples, il convient de noter que, en disant:

l'état de tension est déterminée par l'histoire de moins d'un tenseur arbitraire de l'état de déformation dont la puissance est rien dans tous les mouvements compatibles avec la contrainte, à savoir

est le tenseur des vitesses de déformation est définie comme la dérivée temporelle du tenseur droit de la déformation dans la configuration actuelle

Le taux de stress Il est indéterminé au niveau de la loi de comportement et sa valeur doit être en mesure de déterminer par les principes généraux du budget et des conditions aux limites imposées sur le corps.

incompressibilité Constraint

La contrainte d'incompressibilité exige que, pendant le mouvement reste inchangé le volume d'une partie de corps (moto isocorico). Elle se reflète dans les relations

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: déformation.

Il est démontré dans ce cas que l'état de contrainte est ricondicibile pour former

où le terme hydrostatique est une fonction d'un scalaire arbitraire appelée pression indéterminé ou pression hydrostatique.

Le groupe de Isotropie

La propriété d'isotropie reflète symétries dans la structure moléculaire du matériau et conduit à une réduction drastique de la forme d'une liaisons matériau constitutif. Elle se formalise l'examen d'une seule matière particulaire, à partir de deux différent configurations initiales et , Il est soumis à une identique histoire de la déformation. Si la réponse produite, à savoir l'état de contrainte établi à l'instant t, est identique, il est dit que la particule est isotrope par rapport à la transformation

passant de la configuration configuration . En d'autres termes, dans ce cas, le matériau particulaire dans la configuration ne se distingue pas, dans sa réponse, à partir de la même particule de matière après qu'elle a été déformée dans la configuration . Une telle propriété de symétrie est représentée par simple matériau de la validité du rapport

Il est le gradient de la transformation . La plausibilité physique implique que les deux configurations et , isotrope, devrait avoir une densité de masse égale, puis unimodulaire tenseur gradient, soit de déterminant unité en valeur absolue .

Le isotropie est une propriété liée au choix de la configuration de référence: on parle d'isotropie du matériau dans la configuration donnée. La configuration ayant le plus grand nombre de transformations est appelé isotrope configuration naturelle. Transformations possibles isotropes (et donc unimodulaires) sont des rotations, décrits par tenseurs orthogonales de déterminant unité .

L'ensemble des tenseurs unimodulaires qui décrivent les transformations isotrope d'un matériau dans une configuration donnée a la structure algébrique de groupe par rapport à l'opération de composition tenseur. On parle de du groupe Isotropie le matériau dans la configuration donnée. Même le jeu de tenseur orthogonal a la structure du groupe. On parle de isotrope si les tenseurs de groupe orthogonal est un sous-ensemble du groupe Isotropie.

Les matériaux solides et liquides

La notion de groupe isotropie (et Isotropie) permet de distinguer d'une manière mathématique rigoureuse des matériaux simples solide et fluides.

un solide simple Il est un matériau pour lequel le groupe de Isotropie dans la configuration naturelle est contenue dans le groupe tenseurs orthogonal. Il parle spécifiquement de solide cristallin si le groupe est étroitement Isotropie de contenu (est un sous-ensemble) du tenseur orthogonal, il est appelé solide isotrope si le groupe de Isotropie coïncide avec le groupe tenseurs orthogonal: dans le premier cas, l'isotropie existe pas pour toutes les rotations possibles de la particule, mais pour un nombre réduit d'entre eux; dans le second cas, le isotropie existe pour toutes les rotations possibles de la particule. En conclusion, la substance réelle appelée solides a préféré configurations par rapport à laquelle la réponse du matériau est différent.

Le concept physique de fluide est assez vague, mais interprète l'idée que le fluide ne modifie pas sa réponse matérielle après une déformation arbitraire qui préserve la densité, à savoir, la réponse est identique de toute configuration de référence. Sur la base du concept du groupe Isotropie, cette idée est représentée d'une manière rigoureuse en disant qu'un simple fluide Il est un matériau simple pour lequel le groupe de Isotropie dans la configuration naturelle coïncide avec l'ensemble des tenseurs unimodulaires. Étant donné que le groupe tenseurs orthogonales est certainement un sous-ensemble du groupe de tenseurs unimodulaires, de la définition de la date, il en résulte qu'un simple fluide est certainement isotrope.

Les matériaux élastiques et hyperélastique

Une classe très importante de matériaux simples sont matériaux élastiques, pour qui, à chaque point de l'état continu de la tension dans la configuration actuelle est déterminée uniquement par l'état de cette déformation de configuration et non par toute l'histoire passée de la déformation subie. Pour ces matériaux le lien constitutif est donc imputable à la forme

ou des formes réduites

Ce sont les valeurs relatives à la configuration actuelle de la déformation des descripteurs de tenseurs (le gradient de la déformation, le droit du tenseur de déformation et le tenseur vert). Une telle caractérisation de matériaux élastiques est associée à la propriété de réversibilité de la réponse du matériau en fonction de l'état de contrainte dans le sens que, à l'absence de l'état de déformation, l'état de contrainte revient à l'état initial (et vice-versa, à savoir d'être la cause soulignant, retourner le matériel dans la configuration géométrique initiale), on parle de élasticité cauchy.

Une catégorie particulière de matériaux élastiques sont ce que l'on appelle matériaux hyper-élastique, pour ce qui est réversible, non seulement l'état de stress et la fatigue, mais aussi le travail de déformation, à savoir le travail effectué par les charges externes déforment le corps: on parle dans ce cas de élasticité vert. On montre qu'un matériau est hyperélastique si son le stress pouvoir étatique

est un différentielle exacte, qui est, en cas de fonctionnel que l'état actuel de déformation de telle sorte que son gradient est représentatif de l'état de stress, ce qui est intéressant à la relation suivante

en ce qui concerne, respectivement, du second tenseur de Piola-Kirchhoff et le double tenseur de déformation verte . Pour les matières hyperélastique, par conséquent, la relation suivante

autrement dit, la puissance de l'état de stress est la dérivée dans le temps d'une quantité

que énergie de déformation, qui est une mesure de 'énergie (À savoir la capacité à effectuer travail) Accumulée par le corps en conséquence de la déformation subie. fonctionnel suppose donc le sens de la densité d'énergie de déformation par unité de volume. D'une manière plus générale contexte thermodynamique, il se révèle être étroitement corrélée au degré de 'énergie dans un procédé adiabatique, et dell 'énergie libre dans un procédé isotherme.

isotrope hyperélasticité

Pour les matériaux isotropes, l'énergie de déformation doit être une fonction isotrope . Cela signifie que l'énergie de déformation ne doit dépendre des invariants du tenseur qui sont définis comme suit (tr et det indiquent respectivement la piste et déterminant d'un tenseur)

En d'autres termes,

de règle de la chaîne,

et de démontrer la théorème de Cayley-Hamilton que

Enfin, vous pouvez écrire

Par conséquent, les relations constitutives d'un matériau hyper-élastique et isotrope peuvent être représentées de manière générale sous la forme

La relation constitutive la plus simple qui satisfait aux exigences et isotropie Hyperélasticité est linéaire (matériaux S.Venant-Kirchhoff)

et sont des constantes de matériau élastique notamment à déterminer expérimentalement. Cependant, une telle relation linéaire est physiquement possible que pour les petites déformations.

matériaux linéaires élastiques (généralisée loi de Hooke)

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: La loi de Hooke et Théorie de l'élasticité.

Une classe particulière de matériaux élastiques, un fort intérêt d'ingénierie, sont les matériaux linéaires élastiques, qui est représentée par une relation linéaire entre constitutive du tenseur de contrainte et de déformation.

Cependant, l'expérience montre que la relation linéaire est valable que si les déformations subies par le corps sont petites, dire correspondant à l'hypothèse des déformations infinitésimales de théorie des petits déplacements. Dans ce contexte, l'état de déformation est décrit par tenseur de la déformation infinitésimale (la partie symétrique du gradient de champ de déplacement)

En outre, dans les petits déplacements, il est permis de confondre le but de l'écriture relations d'équilibre, la configuration initiale non déformée avec la configuration actuelle déformée: les tenseurs de tension nominale et le coincident tenseur de Cauchy et il est habituel de faire usage du symbole pour indiquer le tenseur des tensions.

Par conséquent, pour un matériau élastique linéaire des relations constitutives sont représentées par La loi de Hooke:

est un tenseur ladite quatrième ordre tenseur d'élasticité à 36 coefficients scalaires indépendants.

Enfin, dans le cas d'élasto-linéaire et matériau isotrope, la liaison constitutive est réduite à la représentation

en termes de seulement deux paramètres scalaires élastiques lesdites constantes lamé. Dans ce cas, il est facile d'obtenir l'inverse de l'expression de la loi constitutive:

plus généralement exprimée sous la forme qui remonte Navier en module de Young et le coefficient de Poisson:

fluides Stokes et fluides newtoniens

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: newtoniens.

Il est démontré que pour les fluides, et seulement pour les fluides, il est possible de représenter la loi constitutive sous la forme

en termes de quantité se référer uniquement à la configuration actuelle. Un modèle fluide particulièrement simple est celui de fluides Stokes, pour lesquels la loi constitutive est particularisée dans

à savoir la dépendance à l'égard de l'histoire du tenseur droit de la déformation dans la configuration actuelle est particularisée dans la simple connaissance du tenseur de vitesse de déformation .

Ces liens sont d'un grand intérêt technique puisque de nombreux fluides réels, dans des conditions de mouvement affectant les applications, peuvent être décrites selon ce modèle. Il est démontré que, pour les fluides Stokes, la liaison peut encore être représentée sous la forme restreinte

somme d'un terme sphérique liée à la valeur de pression dynamique fonction de la densité et seulement un terme ladite viscose ou d'une partie dissipative du tenseur des contraintes, la seule liées au tenseur des vitesses de déformation.

Dans le cadre des fluides Stokes, une classe particulièrement importante de matériaux pour des applications techniques sont les newtoniens, caractérisé par le fait que le tenseur des contraintes des tensions dépend linéairement du tenseur des vitesses de déformation. Il est montré que, pour l'isotropie des fluides, les fluides newtoniens ont la représentation suivante de l'Acte constitutif

où deux scalaire Ils sont en général en fonction de la densité (Outre le point, dans le cas de matériaux non homogènes) et sont appelés des coefficients de viscosité.

Une autre expression de la loi constitutive des fluides newtoniens peut être obtenu par la décomposition des deux tenseurs dans sa sphérique et déviateur:

Il en résulte des rapports équivalents

Il est la pression moyenne est le coefficient de viscosité de fluide volumétrique.

En particulier, de ce dernier rapport montre que la pression dynamique coïncide avec la pression moyenne aussi bien dans l'état , bien vérifiée dans le cas de gaz raréfiés, aussi bien dans l'état . Cette dernière condition est satisfaite dans état de repos ou dans le cas de mouvements isocorici, à-dire qui ne comportent pas de changement de volume. Cette condition est donc vérifiée dans le cas de fluides incompressibles, pour laquelle la pression moyenne représente également la valeur de la pression indéterminé, liée à la contrainte cinématique d'incompressibilité.

Le modèle de fluide newtonien fournit une description adéquate du comportement de nombreux fluides réels, tels que l'eau, dans les conditions de laminaire, mais il conduit à des résultats diffèrent de la réalité dans le cas de écoulement turbulent.

Les fluides élastiques et fluides parfaits

la fluides élastiques les fluides sont caractérisés par

  • effort de type sphérique (La loi de Pascal)
  • pression fonction de la densité que

Ils sont donc une classe particulière de fluides inviscidi, à savoir pour lesquels les coefficients de viscosité sont nuls . En particulier, un fluide incompressible et élastique est dit fluide parfait ou idéal.

autre constitutif

  • matériaux élasto-plastique
icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: plasticité Théorie.
  • des matériaux visco-élastiques
  • matériaux visco-plastique
  • matériaux fragiles et ramollissement

bibliographie

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  • C. Truesdell, W. Noll, Les théories de la mécanique non linéaire sur le terrain, en Encyclopédie de la physique (S. éditeur Flugge), vol. III / 3, Springer-Verlag, New York, 1965. ISBN 3-540-03313-0
  • C. Truesdell, Un premier cours en mécanique des milieux continus Rational, Academic Press, New York, 1977. ISBN 0-12-701301-6
  • M. E. Gurtin, Introduction à la mécanique des milieux continus, Academic Press, New York, 1981. ISBN 0-12-309750-9
  • L. Ascione, A. Grimaldi, Eléments de mécanique des milieux continus, Liguori Editore, Napoli, 1989. ISBN 88-207-1829-4

Articles connexes

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