s
19 708 Pages

la métrique Gödel Il est une solution exacte équations de champ d'Einstein où Tenseur des contraintes d'énergie contient deux termes, dont la première représente la densité de la matière d'une distribution homogène de tourbillonnement des particules de poussière, et la seconde est associée à la constante cosmologique différent de zéro (voir solution lambda-vide). Il est également connu sous le nom La solution de Gödel.

L'univers décrit par la solution a plusieurs propriétés, décrites dans les paragraphes qui suivent, en particulier l'existence de courbes fermées de temps de type qui permettrait une forme de Voyage dans le temps. Sa définition est quelque peu artificielle (doit être choisi la valeur de la constante cosmologique avec soin de mesurer la densité des granulés de poudre), mais espace-temps Il est considéré comme un exemple important pédagogique.

La solution a été trouvée en 1949 par Kurt Gödel.

définition

Comme tout Lorentzienne espace-temps, la solution Gödel est définie en donnant tenseur métrique en termes de certains schémas de coordonnées locales. En ce qui concerne le graphique original, nous

est une constante réelle différente de zéro, ce qui se trouve être la vitesse angulaire, telle que mesurée par un observateur non rotatif que « tours » (équitation) Chacun des granules de poudre à proximité.

propriété

Pour étudier les propriétés de la solution de Gödel, nous pouvons adopter la gamme de système (double pour le système coopérante qui apporte la métrique donnée ci-dessus)

Ce système définit une famille d'observateurs inertiels qui sont co-move ensemble pour les granules de poudre. Cependant, en calculant les dérivées de Fermi-Walker que Il est démontré que les systèmes spatiaux tourner sur avec une vitesse angulaire . Il en résulte que la système inertiel non rotatif qui est co-se déplace en même temps que les particules de poussière est

Tensor de la matière

Les composantes du tenseur Einstein (par rapport à l'autre système ci-dessus) sont

Ici, le premier terme est la caractéristique d'une solution lambda-vide et le deuxième terme est la caractéristique d'un fluide parfait sans pression ou une solution de poudre. Notez que la constante cosmologique est choisie avec soin pour effacer la densité de la matière de la poudre.

topologie

L'espace-temps Godel est un exemple rare d'une solution régler (Sans singularité) équation de champ d'Einstein. Le diagramme donné ici (le graphique d'origine Godel) est geodeticamente complet, mais singulièrement libre; Par conséquent, il est un diagramme global, et l'espace-temps est diffeomorfico pour R4, et donc tout simplement connecté.

invariant

L'invariant de la courbure de l'espace-temps Godel sont remarquables. Mentionnons qu'un seul aspect.

En tout Lorentzienne espace-temps, la tenseur de Riemann du quatrième rang est un multilinéaire de l'opérateur dans la quatrième dimension spatiale de vecteurs tangents (En tout état de cause), mais opérateur linéaire sixième de la dimension spatiale de bivecteurs dans ce cas. Par conséquent, il a polynôme caractéristique, dont les racines sont valeurs propres. En Gödel espace-temps, ces valeurs propres sont extrêmement simples:

  • triple valeur propre zéro,
  • à double valeur propre -,
  • valeur propre simple .

Vecteurs de Killing

Cet espace-temps admet une considérable algèbre de Lie analyse penta-dimensionnelle vecteurs de Killing, qui peuvent être générés par temporelle de translation , deux traductions spatiales , ainsi que deux autres champs de vecteurs de Killing:

et

.

Le groupe agit isométrique transitive (Étant donné que nous pouvons traduire en , et en utilisant le quatrième transporteur peut également se déplacer le long ) Pour que l'espace-temps est homogène. Cependant, il est isotrope, comme nous le verrons.

Il est évident que les données seulement générateurs de sections (tranches) admettre une groupe de transformation tri-dimensionnelle transitif commutatif, de telle manière que le quotient de la solution peut être réinterprété comme une solution symétrique stationnaire cylindrique. Moins évidemment, les sections admettre une action de SL (2,R), et les articles Admettez un blanc III (cfr. Le quatrième meurtre champ vectoriel). On peut dire ce nouveau énoncer que notre groupe de symétrie comprend trois exemples de sous-groupes de type I Bianchi en trois dimensions, III et VIII. Quatre des cinq vecteurs de Killing, ainsi que le tenseur de courbure, ne dépend pas de la coordonnée y. En fait, la solution de Gödel est la produit cartésien par un facteur R avec une variété (collecteurs) Tri-dimensionnelle Lorenzian (marqué avec - ++).

On peut montrer que la solution Gödel, jusqu'à ce que la symétrie locale, l 'seulement solution de l'équation fluide parfait du champ d'Einstein qui admet une algèbre de Lie vecteurs penta dimensions de Killing.

Type de Petrov et la décomposition de Bel

la tenseur Weyl la solution Godel a un type Petrov . Cela signifie que pour un observateur choisi de manière appropriée, les forces de marée sous forme de Coulomb.

Pour étudier les forces de marée plus en détail, on calcule la décomposition de Bel du tenseur de Riemann en trois parties:

la tenseur de marée ou electrogravitic (Qui représente les forces de marée),
la tenseur magnetogravitico (Qui représente les forces de rotation-rotation (spin-spin) Pour faire tourner les particules d'essai et d'autres effets gravitationnels semblables à magnétisme),
et tenseur topogravitico (Qui est la courbure des sections d'espace).

Il est intéressant, les observateurs mobiles avec en même temps que les particules de poussière découvrent que tenseur de marée (Par rapport à , dont les constituants évalués dans notre système) a la forme

C'est-à-dire, ils mesurent la tension orthogonale isotrope de marée à la direction distincte .

Le gravitomagnétique tenseur d'une manière identique, il tend vers zéro

Il est un artefact des symétries plus insolites de cet espace-temps, et implique que la poussière prétendue « rotation » ne pose généralement pas des effets gravitomagnetici associés au champ de gravitation produit par le champ tournant.

La principale invariant de Lorentz du tenseur de Riemann

La tendance à zéro du second invariant signifie que certains observateurs ne mesurent pas gravitoélectromagnétisme, ce qui bien sûr est conforme à ce que nous venons de dire. Le fait que le premier invariant (l'invariant Kretschmann) est constante reflète l'homogénéité de l'espace-temps Godel.

rotation rigide

Les champs système de données ci-dessus sont à la fois d'inertie, , mais le vecteur de vorticité de la congruence géodésique de type de temps telle que définie par l'unité de vecteur de type de temps est

Cela signifie que les lignes d'univers des particules de poussière sont voisines se drapant les uns aux autres. De plus, la tenseur de déformation (cisaille) De la congruence Il a tendance à zéro, de sorte que les particules de poussière sont de montrer rotation rigide.

effets optiques

Si nous étudions la cône de lumière passé d'un observateur donné, nous constatons que le mouvement géodésie null orthogonalement une spirale vers l'intérieur vers l'observateur, de sorte que la recherche radialement, il verra progressivement d'autres granulés de poudre dans postes à temps retardé. Cependant, la solution est à l'arrêt, par exemple à apparaître à l'observateur lié à un granulé de poussière pas voir les autres granulés tournent autour de lui. Toutefois, notez que si le premier système comme ci-dessus () Semble statique dans notre tableau, les dérivés de Fermi-Walker montrent que, en effet, rotando que gyroscopes. Le deuxième système () Dans notre diagramme, il semble tourner, mais en fait, il est girostabilizzato, et bien sûr un observateur inertiel non rotatif qui dépend d'un grain de poudre verra en effet les autres granules de poussière tournent dans le sens horaire avec une vitesse angulaire autour de son axe de symétrie. Il se trouve que, en plus de cela, les images optiques sont étendus et coupés dans le sens de rotation.

Si un observateur inertiel non rotatif le long regarde son axe de symétrie, il verra ses pairs d'inertie coaxial non rotatif apparemment non-rotation par rapport à lui-même, comme nous l'aurions prévu.

Former l'avenir absolu

Selon Hawking et Ellis, une autre caractéristique notable de cet espace-temps est le fait que, si elle supprime l'y inessentiel coordonnée, la lumière émise par un événement sur la ligne mondiale d'une particule donnée de poussière en spirale vers la « extérieur, en formant un cuspide circulaire, puis en spirale vers l'intérieur reconverger dans un événement ultérieur la ligne mondiale de la particule de poussière d'origine. Cela signifie que les observateurs regardant dans la direction perpendiculaire Ils ne peuvent voir une distance limitée, et même se voir à un moment plus tôt.

Le point de rebroussement est un rien de courbe fermée non géodésique. (Voir la discussion plus détaillée ci-dessous, qui utilise un autre graphique de coordonnées).

Les courbes de type temps fermés

En raison de l'homogénéité de l'espace-temps et de tressage l'autre de notre famille de géodésique de type temps, il est plus ou moins inévitable que l'espace-temps doit avoir Gödel Type de temps courbes fermées (CTC). En fait, Il y a la CCT par chaque événement dans l'espace-temps Gödel. Cette causalité semble anomalie avoir été considéré par Gödel lui-même comme le point essentiel du modèle, ce qui apparemment essayait de montrer, et probablement réussi à prouver que les équations de l'espace-temps d'Einstein ne sont pas compatibles avec ce que nous comprenons intuitivement à la fois la le temps (il passe et le passé n'existe plus, une position que les philosophes appellent le présentisme, où Gödel semblait considérer quelque chose de plus proche de la philosophie de éternalisme), tandis que, au contraire, a réussi son théorèmes d'incomplétude pour montrer que les concepts mathématiques intuitives ne peuvent pas être décrits en détail par des systèmes de démonstration mathématiques formels.[1]

Einstein était au courant de la solution de Gödel et commenté dans Albert Einstein: Philosophe-scientifique que, si vous pourriez avoir une série d'événements causalement liés, dans lequel « la série est fermée en soi » (autrement dit, une courbe fermée de type temps), cela suggère qu'il n'y a pas de bonne façon de déterminer si une certain événement se produit dans la série « avant » ou « après » d'un autre événement de la série:

Dans ce cas, la distinction « avant-après » est abandonné pour les points de l'univers qui sont situés loin de l'autre dans un sens cosmologique, et ces paradoxes surgissent, en ce qui concerne la direction du lien de causalité, dont M. Godel a parlé.

De telles solutions cosmologiques des équations de la gravitation (avec la constante A ne pas tendre à zéro) ont été trouvés par Godel. Il sera intéressant d'évaluer si ceux-ci doivent être exclues pour des raisons physiques.

À l'échelle mondiale non hyperbolique

Si Godel espace-temps admet une hyper-tranche (hyperslice) Sans limites spatiales (par ex. Une surface de Cauchy), chaque CTC devrait intersecarla un nombre impair de fois, en contradiction avec le fait que l'espace-temps est simplement connecté. Par conséquent, cet espace-temps est pas globalement hyperbolique.

Schéma cylindrique

Dans cette section, nous présente un autre diagramme de coordonnées pour la solution Godel, qui sont plus faciles à observer quelques-unes des caractéristiques mentionnées ci-dessus.

dérivation

Gödel n'a pas expliqué comment il a trouvé sa solution, mais il y a cependant beaucoup de pistes possibles. Nous décrivons ici une manière générale et, en même temps, nous vérifierons certaines des revendications formulées précédemment.

Commençons par un système simple (cadre) Dans un type de graphique cylindrique, comportant deux fonctions indéterminées de la coordonnée radiale:

Ici, nous pensons à l'unité champ de vecteurs de type temps en tant que tangente aux lignes d'univers des particules de poudre, et leurs lignes d'univers ils montrent en général un autre tourbillon à partir de zéro, mais la dilatation et la déformation tend vers zéro. Nous devons exiger que le tenseur d'Einstein sont des accords en terme de poussière, plus un terme d'énergie dans l'espace. Cela équivaut à exiger qu'il correspond à un fluide parfait, qui est, il est nécessaire que les composantes du tenseur d'Einstein, calculé par rapport à notre système (cadre), Prendre la forme

Cela donne les conditions

En plaçant ces derniers dans le tenseur d'Einstein, nous voyons que, en fait, nous avons maintenant . L'espace-temps la plus simple est non négligeable que nous pouvons construire de cette façon serait évidemment dire que ce coefficient est une fonction différente de zéro, mais stable de la coordonnée radiale. Plus précisément, avec un soupçon de prudence, nous choisissons . Cela donne

Enfin, nous exigeons que ce système répond

A partir de ce que vous obtenez , et notre système devient

Apparence des cônes de lumière

A partir du tenseur métrique, nous trouvons que le champ vectoriel , dont il est bien sûr type temps petits rayons, devient nul pour

Ici aussi le co-porte devient nul (tangente au cône de lumière). le cercle Il est un rien de courbe fermée, mais pas rien géodésique.

Examiner le système (cadre) Au-dessus, on peut observer que la coordination Il n'est pas indispensable; notre espace-temps est le produit direct d'un facteur R avec un score de 3-variétés - ++. l'élimination afin de concentrer notre attention sur ce 3-collecteurs, nous examinons comment l'apparence des cônes de lumière muets comme nous voyageons hors de l'axe de symétrie :

Gödel métrique
Les deux cônes de lumière (ainsi que leurs vecteurs de système) dans le graphe cylindrique pour la solution de poudre de lambda Godel. Alors que nous avançons vers l'extérieur de l'axe de symétrie de la valeur nominale, les cônes devenir inclinée vers l'avant élargissement. Il convient de noter que les lignes verticales coordonnées (qui représentent les lignes d'univers des particules de poudre) sont toujours type temps.

À l'approche du rayon critique, les cônes deviennent tangent au plan coordonné , et rien de courbe fermée:

Gödel métrique
Un rien de courbe fermée représentée dans le graphique cylindrique pour la solution de poudre lambda (lambdadust) Godel.

Congruence des courbes fermées de temps de type

Au rayon critique , le champ de vecteurs Il devient nul. Pour plus grands rayons, il est type temps. Puis, en correspondance de notre axe de symétrie et par rapport à certains observateurs que nous avons une congruence de type de temps se compose de cercles. Cette congruence est cependant défini uniquement à l'extérieur du cylindre .

Ce n'est pas une congruence géodésique; Au contraire, chaque observateur dans cette famille doit maintenir un accélération constante afin de prendre sa direction. Les observateurs avec des rayons plus petits doivent accélérer plus fort; comment l'ampleur de l'accélération diverge, et est bien sûr précisément ce que nous devrions nous attendre, puisque Il est un rien de courbe.

vide géodésie

Si nous examinons le cône de lumière du passé d'un événement sur l'axe de symétrie, on trouve la représentation suivante:

Gödel métrique
La spirale tournant dans le sens antihoraire vers géodésiques vide un observateur sur l'axe de symétrie. Ici, ils sont présentés de « ci-dessus. »

Rappelons que les coordonnées verticales des lignes dans le graphique représentent l'univers des lignes des particules de poudre, mais malgré leur apparence graphique droite, congruence formé par ces courbes a vorticité est différente de zéro, par conséquent, les lignes d'univers sont en fait torsadés les uns aux autres. Le fait que la spirale de têtard géodésique nulle vers l'intérieur, de la manière indiquée ci-dessus, signifie que lorsque l'air à l'observateur notre radialement vers l'avant, il voit autour des particules de poussière, pas à leur position actuelle, mais dans les précédents. Ceci est juste ce que nous pouvons nous attendre si les particules de poussière étaient en fait tourner autour de l'autre.

Notez que les géodésiques nulles sont évidemment géométriquement droite; sur la figure, ils apparaissent sous la forme de spirales uniquement pour le fait que les coordonnées sont « en rotation » de manière à permettre aux particules de poussière apparaissent stationnaire.

L'avenir absolu

Selon Hawking et Ellis (voir monographie citée ci-dessous), tous les rayons lumineux émis par un événement sur l'axe de symétrie y riconvergeranno dans un événement subséquent, avec le vide géodésique formant une pointe circulaire (qui est une courbe nulle, mais pas une géodésique quoi que ce soit), quelque chose de similaire à deux baisers Hershey [2] combacianti

Gödel métrique
Description de l'expansion Hawking et Ellis et reconvergence de la lumière émise par un observateur sur l'axe de symétrie.

Cela implique que la solution lambdadust Gödel, la avenir absolu chaque événement a un caractère très différent de ce que nous pourrions attendre naïvement!

cosmologique interprétation

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Cosmologie § Gödel Univers non standard.

À la suite de Godel, on peut interpréter les particules de poussière comme les galaxies, de sorte que la solution de Gödel devient modèle cosmologique de l'univers en rotation. Étant donné que ce modèle ne représente pas de l'expansion de Hubble, il est certainement pas un modèle réaliste de l'univers dans lequel nous vivons, mais peut être considéré comme une représentation d'un univers alternatif, il serait en principe autorisé par la relativité générale (si l'on admet la légitimité d'une constante cosmologique différent de zéro).

Nous avons vu que les observateurs se trouvant sur l'axe y (dans le graphique d'origine) verront le reste de l'univers qui tourne vers la droite. Cependant, l'homogénéité de l'espace-temps montre la distinction direction mais pas le emplacement Ce « axe ».

Certains ont interprété comme un univers Godel à l'espoir contre-Einstein d'au sujet du fait que la relativité générale doit produire une sorte de Le principe de Mach, citant le fait que la matière est en rotation (de lignes d'univers torsadés autour de l'autre) d'une manière suffisante pour détecter une direction préférentielle, bien qu'aucun axe distinct de rotation.

D'autres prennent la Le principe de Mach pour signifier une loi physique qui lie la définition des systèmes d'inertie non-rotation à chaque événement pour la distribution mondiale et le mouvement de la matière dans l'univers, et expliquer comment les systèmes d'inertie non rotatifs sont liés précisément à la rotation de la poudre de la manière qu'un principe similaire suggère, ce modèle « reste » en conformité avec les idées de Mach.

Ils savent que beaucoup d'autres solutions exactes, interprétées comme des modèles cosmologiques d'univers en rotation. Voir le livre de Ryan Shepley et pour certaines de ces généralisations.

notes

  1. ^ Voir le livre Un monde sans temps (ISBN 0-465-09294-2).
  2. ^ Les baisers Hershey (Hershey Kisses) Je suis un type de chocolat produit par la Hershey Company. Les morceaux de chocolat ont une forme caractéristique, communément appelé « larmes du fond plat ».

bibliographie

  • G.Dautcourt et M. Abdel-Megied, (FR) Revisiter la lumière du cône Goedel de l'Univers, sur arXiv. Récupéré 12 Novembre, 2005.
  • (FR) Stephani, Hans Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Hertl, Eduard, Solutions exactes aux équations de champ d'Einstein, 2à, Cambridge, Cambridge University Press, 2003 ISBN 0-521-46136-7. vue l'article 12.4 pour le théorème d'unicité.
  • (FR) (FR) Ryan, M. P., Shepley, L. C, Homogène cosmologies relativistes, Princeton, Princeton University Press, 1975 ISBN 0-691-08153-0.
  • (FR) Hawking, Stephen, Ellis, G. F. R., La Structure grande échelle de l'espace-temps, Cambridge, Cambridge University Press, 1973 ISBN 0-521-09906-4. vue section 5.7 pour un traitement classique de tétrachlorure de carbone dans l'espace-temps Gödel. avertissement: la Fig. 31, les cônes de lumière dans les effets déversant, mais aussi l'expansion, de sorte que les lignes de coordonnées verticales sont toujours type de temps, en effet, ceux-ci représentent les lignes d'univers des particules de poudre de sorte qu'ils sont géodésiques de type de temps.
  • (FR) Godel, K., Un exemple d'un nouveau type de solution cosmologique des équations du champ de gravitation d'Einstein, en Rev. Mod. Phys., vol. 21, 1949, pp. 447-450, DOI:10.1103 / RevModPhys.21.447.
  • (FR) univers Godel sur arxiv.org, xstructure.inr.ac.ru.