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en mathématiques un courbe plane est un courbe qui se trouve entièrement dans un plan (simple) et est identifiable par un fonction continue , où est un intervalle dans tous les reals. Par exemple, une courbe sur une espace euclidien de taille supérieure à 2, il est à plat si le contenu multimédia se trouve sur un plan dans l'espace euclidien dans laquelle elle est définie.

L 'image d'une courbe est également appelée soutien de la courbe. il utilise parfois l'expression « courbe » également pour indiquer le soutien d'une courbe.

premières considérations

Les courbes planes sont largement étudiées des objets géométriques, depuis l'antiquité, avec des objectifs non seulement de type mathématique. La collection de courbes qui ont été étudiées mathématiquement est très variée et complexe, et doit immédiatement détecter certaines distinctions.

Une courbe plane est dit simple à moins que lui-même intersecte, ou si pour chaque vous avez . Dans le cas contraire, il est dit avec le double de points, triple, et ainsi de suite.

Une autre distinction est relative au fait qu'une courbe plane est limité, -à-dire a un ensemble limité de points d'appui , ou les deux illimité. limitées courbes d'avion sont les ellipse et lemniscate, tandis que l'illimité hyperbole et spirales.

représentations

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Courbe spatiale.

Représentation sous forme cartésienne explicite

Un type de représentation de la courbe plane est l'équation:

de telle sorte que chaque point Il correspond à un point , et que tous les points le plan représente le support de la courbe. Une courbe de ce type est également indiqué dans le tableau référence à la courbe de fonction réelle. Dans les effets de représentation, vous pouvez également écrire:

dire en fonction d'une variable indépendante. Cette représentation a de nombreuses limites géométriques découlant du fait que très souvent une courbe a une description très complexe sous cette forme, ne convient pas à l'étude des propriétés géométriques.

Représentation sous forme cartésienne implicite

Une courbe peut également être représenté sous la forme:

dire en fonction des deux variables indépendantes. Bien que cette représentation est mieux à certaines fins qu'explicite vous pouvez rencontrer des problèmes quand il est nécessaire de clarifier une variable en fonction, ce qui est même pas toujours possible.

Représentation paramétrique

La meilleure performance est certainement paramétrique, tels que:

ou:

Il est appelé paramètre. La condition de continuité ne suffit pas pour représenter les courbes et étude comme des objets filiformes destinés à une taille souhaitée avec des caractéristiques de régularité. La condition supplémentaire est que la courbe est plate différentiables dans .

Une courbe plane paramétrique disent-ils différentiables à tout moment si les fonctions et Ils ont des dérivées continues à chaque point. Une courbe plane est dit différentiable régler en un point si et ajuster si je à chaque point de I. Un point que vous avez Il dit qu'il est un point singulier pour la courbe.

tangente

La régularité de la courbe est utilisée pour définir la ligne tangente à la courbe. les deux une courbe dérivable, et un point régulier. Vous pouvez définir la ligne tangente à la courbe en ce point en tant que passage de la ligne droite passant par parallèle à vecteur .

La ligne tangente au point a l'équation cartésienne :

et les équations paramétriques:

Dans le cas de la courbe représentée par une équation explicite , la ligne tangente au point Il est donné:

tandis que dans le cas d'une courbe représentée par une équation implicite la ligne tangente au point Elle est donnée par:

droite normale

La régularité de la courbe permet de définir également la ligne normale la courbe au point équation cartésienne:

Dans le cas de la courbe représentée explicitement:

tandis que pour le cas de la courbe représentée implicitement:

direction cosinus

De la définition même de dérivé vous obtenez:

qui représente géométriquement la pente de la ligne tangente, à savoir la tangent goniométrique l'angle que la ligne tangente avec l'axe horizontal x. De cette relation, il peut extraire la cosinus directeurs de la ligne tangente:

reparamétrage

Étant donné une courbe et une fonction différentiable définie sur puis la courbe:

de telle sorte que pour chaque vous avez Il est une mutation de la courbe . La reconfiguration est licite si et .

Il montre que si Il est une reconfiguration moyens puis:

En fait, si puis et pour la règle de dérivation des fonctions composites vous obtenu:

et si vous avez:

Longueur d'une courbe

Longueur sous forme paramétrique

Les deux jour différentiables et . Ensuite, la longueur d'arc de courbe entre Il applique:

Il a ajouté que, si est une mutation de la courbe, alors:

Longueur forme explicitement cartésien

Si la courbe est représentée sous forme explicitement cartésien:

à savoir:

puis, sachant que:

et que:

l'application de la théorème de Pythagore à des éléments infinitésimales, et l'intégration dans la plage de variation abscisse, la longueur de la courbe est donnée par:

Paramétrisation en coordonnées polaires planes

Une forme de paramétrisation qui revêt une grande importance dans l'étude des mathématiques, la géométrie et les mathématiques dans de nombreuses applications est que Les coordonnées polaires planes. Compte tenu de la courbe qui a paramétrisation dans le plan des coordonnées polaires en forme cartésienne:

et sous forme paramétrique de paramètre :

puis ses dérivés sont les suivants:

de sorte que la longueur de la courbe est égale à:

abscisse curviligne

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Longueur d'un arc.

il définit la longueur d'arc ou longueur de l'arc paramètre la réaffectation particulière est obtenue en fixant l'extrémité inférieure de l'intégration de telle sorte que l'intégrale:

ne dépend que de l'extrémité supérieure comprise comme une variable. Cette caractéristique est la longueur de l'arc courbé à partir d'un point fixe et peut avoir un signe. Il peut toujours reparamétrer approché de la courbe curvilignes. De cette façon, si vous voulez calculer la ligne tangente à un point, on sait qu'il est parallèle à un vecteur unitaire tangent, soit une unité vectorielle. Il est montré que vous pouvez toujours reparamétrer une courbe par l'abscisse curviligne de la manière suivante:

depuis 0 « /> alors vous pouvez inverser et si son inverse est alors vous avez la longueur d'arc de réaffectation donnée par:

Il montre ensuite que le vecteur tangent unité est la suivante:

courbure

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: courbure.

les deux une courbe paramétrée en fonction de l'abscisse curviligne et son unité de vecteur tangentiel. Elle considère la fonction qui associe à chaque la valeur . la fonction Il est la courbure de la courbe.

Si la courbe est représentée explicitement, sa courbure est:

tandis qu'une courbe représentée par une équation implicite:

formules de Frenet

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Géométrie différentielle des courbes.

Une courbe (suffisamment régulière) dans l'espace a en tout point un système de référence, ladite Frenet, donnée par une triade de vecteurs tangent, normal et binormale. Cette courbe est plate précisément lorsque le vecteur binormale est toujours constante.

les deux une courbe paramétrée en fonction de l'abscisse curviligne. Le vecteur unitaire de la tangente est donnée par:

Le vecteur unitaire normal est donnée par:

Il est l'unité imaginaire. Tirer parti définition de courbure peut donner une autre forme à l'unité vecteur normal:

Il est démontré que le transporteur Il est orthogonal et ensuite parallèlement à .

en fin de compte formules Frenet et courbure pour une courbe plane avec un paramétrage ils sont les suivants:

bibliographie

  • (FR) Erwin Kreyszig, Géométrie différentielle, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9
  • (FR) Euclide, des commentaires et des trans. par T. L. Heath éléments Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Livres
  • (FR) E. H. Lockwood Un livre de courbes (1961, Cambridge)
  • Luciano Cresci, Les courbes célèbres: Invitation à l'histoire des mathématiques à travers les courbes planes les plus fascinantes, Editeur Franco Muzzio, 1998, p. 194 ISBN 88-7021-864-3.

Articles connexes

liens externes