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La courbe (mathématiques)
un courbe plane forme papillon.

en mathématiques, un courbe il est un objet unidimensionnelle et continu, comme circonférence et ligne droite. Une courbe peut se situer sur un plan, en espace euclidien, ou une espace topologique plus générale.

un courbe Il peut être considéré comme intuitivement trajectoire décrite par un objet (points) qui se déplace avec une continuité dans l'espace; Il ne devrait donc pas être surprenant que « attraper » cette idée dans l'utilisation du langage mathématique est faite des termes fonction continue et fonction différentiable.

définitions

La courbe (mathématiques)
Le support d'une courbe est son image.
La courbe (mathématiques)
la La spirale de Fermat est une simple courbe est pas fermée.
La courbe (mathématiques)
un rodonea avec trois pétales. Il n'est pas une courbe fermée simple (croise plusieurs fois dans le centre).
La courbe (mathématiques)
Une simple courbe fermée dans l'espace tridimensionnel est un nœud.

en topologie, une courbe est un fonction continue

est un intervalle de droit réel et est tout espace topologique.

Par exemple, Il peut être plan cartésien ou dans l'espace . l'intervalle peut être par exemple un intervalle fermé , un intervalle ouvert , un rayon , etc.

le support de courbe

L 'image d'une courbe est également appelée soutien de la courbe. Souvent, avec un léger abus, il est indiqué par le mot « courbe » et pas en charge la fonction. Par exemple, la circonférence Il est le support de la courbe

en topologie, lorsque l'intervalle de départ Il est unitaire on utilise souvent l'un des termes équivalents chemin ou arc.

courbe fermée simple et courbe

Une courbe est appelée injective courbe simple ou arc Jordan. Il est une courbe prises de telle sorte que deux points distincts , dont au moins un intervalle appartenance , il est .

Une courbe qui coïncide à ses extrêmes, à savoir de telle sorte que , est un courbe fermée ou caisse claire. Ainsi, le cercle est une courbe plane fermée et simple.

pli plat

un courbe plane Il est une courbe

à des valeurs de plan cartésien . Une simple courbe plane fermée et est aussi appelé courbe de Jordan.

paramétrisation

si est un homéomorphisme croissant intervalle (par exemple, une fonction dérivable et bijective avec un dérivé positive), puis obtenu en composant et est une autre courbe ayant le même support . On dit que est une autre paramétrisation la courbe .

différentiabilité

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: la géométrie différentielle des courbes.
La courbe (mathématiques)
la courbe Koch Il n'est pas différentiables.
La courbe (mathématiques)
Une courbe lisse (a ellipse, en rouge) et une courbe lisse parfois (son évolué, en bleu).

Une courbe topologique, bien qu'il semble répondre à la nécessité de représenter « filiformes » et « sans » objets épais, qui apparaissent localement une courbe droite, peut être très bizarre si vous ne pose pas de conditions supplémentaires. Par exemple, dans 1890 le mathématicien Giuseppe Peano Il a découvert une courbe (maintenant connue sous le nom courbe de Peano) En tant que support ayant un carré. la courbe Koch est plutôt une fractale avec dimension de Hausdorff supérieur à un (e objet de forme intermédiaire entre la droite et le plan).

Une condition supplémentaire qui garantit l'aspect « filiforme » du support est la différentiabilitési est le plan ou tout autre espace euclidien, vous pouvez demander Il est différentiables à chaque point, et dans ce cas pour parler courbe dérivable ou régler. Dans une courbe dérivable, pour chaque Elle est définie comme une tangente à la courbe en : Le pot de vin est vecteur des dérivés .

La longueur de la tangente est le vitesse le point de la courbe. La vitesse peut être modifiée par reconfiguration de la courbe: Étant donné une courbe, il y a toujours un seul paramètre tel que la vitesse est toujours l'un. Une telle courbe est paramétrée par la longueur d'arc.

Régularité parfois

Dans de nombreux contextes, il est utile de parler de courbes « lisses » mais forment les « coins » dans les lieux. A cet effet, il définit un courbe lisse par morceaux comme une courbe dont domaine Il est l'union des intervalles successifs, sur chacune desquelles la courbe est lisse. , Nous demandons formellement qu'il ya un partition d'un intervalle dans certains intervalles de telle sorte que la restriction de la courbe sur chaque est régulière.

représentation cartésien et paramétrique

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Courbe spatiale.

Deux voies sont utilisées pour représenter une courbe en trois dimensions sont la forme cartésienne et la forme paramétrique.

Représentation cartésien

Il est possible de représenter une courbe de la forme implicite en identifiant son appui à la place des zéros d'une champ vectoriel , à savoir les coordonnées des points qui vérifient le système:

et sont des services de classe au moins valeur réelle. Une telle représentation peut être considérée comme l'intersection de deux courbes surfaces sous une forme implicite.

Une condition suffisante pour la régularité locale d'une telle courbe représentée dans le voisinage d'un de ses points est que jacobian:

a rang maximum

Représentation paramétrique

Une courbe sous forme paramétrique est une fonction vectorielle à valeurs d'une seule variable Type:[1]

Vous pouvez également écrire:

la variable Il est appelé paramètre. Une courbe est un fonction de classe dans un intervalle si les fonctions , et Ils ont des dérivées continues dans cette gamme. Une courbe disent-ils régler en un point si:

et réglez si cela est vrai dans tous les domaines . Un point que vous avez disent-ils point singulier pour la courbe.

longueur de la courbe

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: longueur d'un arc.

si il est l'un espace métrique (Par exemple, le sol ou un espace euclidien) vous pouvez utiliser la métrique même pour définir la longueur d'une courbe. Que ce soit une courbe donnée et partition intervalle qui est un ensemble fini de points de telle sorte que:

Ensuite, vous pouvez définir le polygone, qui est une courbe qui est l'union des segments ayant l'image des sommets des éléments de séparation par . Dans la pratique, le polygone est une courbe brisée dont les sommets appartient à la courbe d'origine. Au cours des sommets du polygone sont plus nombreux et sa longueur sera proche de celle de la courbe.

Nous pouvons définir la longueur la courbe comment supremum faire varier la longueur de la cloison polygonal :

Si cette valeur est infinie, la courbe est dit rectifiable. Les courbes de Peano et Koch Ils ne sont pas réparables.

La longueur d'une courbe ne dépend pas de son paramétrage, ce ne varie pas si l'on considère équivalent paramétrisation.

Une courbe dérivable est rectifiable: pour chaque point t un intervalle de vitesse est définie, et il peut être démontré que la longueur définie ci-dessus est égal à 'intégral cette vitesse la:

en utilisant le terme ligne intégrale vous pouvez également écrire:

notes

  1. ^ Matt et Eric insall Weisstein, MathWorld - Courbe, mathworld.wolfram.com, 2012.

bibliographie

  • Erwin Kreyszig, Géométrie différentielle, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9
  • Euclide, commentaires et trans. par T. L. Heath éléments Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Livres
  • E. H. Lockwood Un livre de courbes (1961, Cambridge)

Articles connexes

  • Arco (topologie)
  • Courbe spatiale
  • pli plat
  • différentiabilité
  • dérivé
  • Géométrie analytique
  • la géométrie différentielle des courbes
  • Glossaire sur les courbes mathématiques
  • Longueur d'un arc
  • surface
  • Tangent (géométrie)
  • théorème des fonctions implicites

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liens externes