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Parabole (géométrie)
Une partie d'une parabole (en bleu) avec des caractéristiques différentes (dans d'autres couleurs). Le plat complet ne se limite pas: dans cette orientation, étend infiniment à gauche, à droite et vers le haut.

la parabole Il est une figure particulière plat. Il est un particulier section conique, comme 'ellipse et l 'hyperbole.

Il peut être défini comme placer géométrique des points équidistants d'une ligne droite (appelée gérante) Et un point fixe (appelé feu).

La parabole est un concept très important en mathématiques et a de nombreuses applications dans physique et ingénierie.

définition

La parabole est le lieu des points équidistants d'un plan à partir d'un point fixe , ledit feu, et d'une ligne droite donnée , a déclaré le directeur.

La section conique

Parabole (géométrie)
La parabole est un section conique: Est obtenu comme l'intersection d'une cône infini avec un plan parallèle à une génératrice linéaire.

Une parabole est un section conique, soit un chiffre qui est obtenu comme étant l'intersection entre un cône circulaire et plan.

Le type de section conique dépend de l'inclinaison du plan par rapport au cône.

un génératrice le cône est une droite contenue dans la surface du cône.

un parabole Il est une courbe obtenue comme étant l'intersection d'un cône circulaire, et un plan parallèle à une génératrice de la ligne droite du cône.

Si le plan ne soit pas parallèle à une génératrice en ligne droite, vous autres sections coniques obtenu, comme le 'ellipse ou l 'hyperbole.

Placez géométrique

un parabole Il peut également être défini comme placer géométrique comme suit.

un parabole est l'ensemble des points dans le plan équidistant à partir d'une ligne droite (appelé gérante) Et un point (dit feu) Ne figurent pas dans .

Parabole (géométrie)
Une parabole est le lieu des points à égale distance entre le point (Feu) et la ligne droite (Directeur, représenté dans le graphique avec la lettre L). Sur le dessin, les segments et Ils ont la même longueur (pour ).

En d'autres termes, une parabole est l'ensemble des points de telle sorte que, indiqué par la projection orthogonale de sur la bonne voie , sont égales les unes aux autres les longueurs des segments

  • La droite passant par et orthogonal au directeur constitueaxe de symétrie de la courbe.
  • L'intersection de symétrie avec la parabole, le point médian entre le feu et sa projection sur la route, il dira sommet de la parabole.

La parabole géométrie descriptive, Il est aussi le lieu géométrique des centres des cercles tangents à un cercle et une ligne droite.[1]

équation cartésienne de la parabole

en la géométrie analytique, le sol est équipé coordonnées cartésiennes orthogonal, et une parabole peut être décrit comme un lieu de points qui satisfait une équation d'un certain type.

un parabole Il est l'ensemble des points le plan cartésien qui satisfont à une équation quadratique le type

où:

équations du second degré avec des conditions décrire autre conique, comme le 'ellipse et l 'hyperbole.

En opérant une rotation qui transforme l'axe de la parabole dans une ligne parallèle à l'ordonnée droite axe, vous pouvez obtenir une expression plus simple du type:

avec .

Si, toutefois, la rotation tourne l'axe d'une ligne droite parallèle à l'axe des abscisses l'équation devient:

Générale équation de la parabole

Les deux donné une ligne sous une forme implicite et un point dans le plan, ne faisant pas partie de la ligne droite, la parabole qui a pour directrice la ligne droite précitée et de la façon dont le point d'inflammation Il a l'équation:

Lorsque les paramètres sont trouvés par les valeurs suivantes:

Vous pouvez facilement transformer le directeur implicitement au directeur sous la forme divisant explicitement tout par et en simplifiant aussi se souvenir que .

L'équation de la parabole avec un sommet à l'origine et de l'axe de symétrie confondu avec l'axe y

Parabole (géométrie)
Parabole de sommet: l'origine et de se concentrer sur l'axe des y et directrice parallèle à l'axe x.

les deux 0 « /> le directeur des incendies loin.

Le feu a des coordonnées .

le directeur Il a l'équation .

le point Il est la projection orthogonale de sur .

Le milieu de il est et il appartient à la parabole étant à égale distance de mise au point et à la directrice.

Ce point est dit sommet de la parabole.

Pour la définition du point parabole appartient à la parabole si et seulement si la distance du feu Elle est égale à la distance entre direttice et donc Il est la projection orthogonale de le directeur:

Façonneuse et après, on obtient des simplifications appropriées d'où .

lieu Vous obtenu par l'équation élémentaire connue de la parabole

Cette parabole a un sommet à l'origine des axes cartésiens et l'axe de symétrie confondu avec l'axe des ordonnées (axe ).

Par rapport au paramètre dans le feu a des coordonnées et le directeur a l'équation .

L'équation de la parabole traduit

Vous voulez traduire la parabole un support .

Les équations de mouvement sont:

Ainsi, l'équation a changé parabole .

Le nouveau sommet a des coordonnées .

Caractéristiques de la parabole avec un axe de symétrie parallèle à l'un des axes cartésiens

Parabole avec l'axe de symétrie vertical (parallèle à l'axe des ordonnées y *)

L'équation de cette parabole est

démonstration

Considérons l'équation traduit parabola décrit précédemment

Après des calculs appropriés, on obtient

lieu et , vous obtenez

Avec une procédure inverse, il est possible de déduire la relation entre et et les coefficients a, b et c.

Parabole (géométrie)
Antenne satellite avec un axe de symétrie parallèle à l'axe y, a> 0, 0 « />
  • discrimination:
  • l'axe de symétrie l'équation:
  • les coordonnées des sommets:
  • Coordonnées feu:
  • L'équation du directeur:

Parabole avec l'axe de symétrie horizontal (parallèle à l'axe x des abscisses)

L'équation de cette parabole est

Parabole (géométrie)
Parabole de symétrie parallèle à l'axe x, a> 0, 0 « />
  • discrimination:
  • l'axe de symétrie l'équation:
  • les coordonnées des sommets:
  • Coordonnées feu:
  • L'équation du directeur:

coefficients d'expression polynomiale

Chacun des coefficients dans l'expression

Il a un rôle particulier.

Le coefficient

Parabole (géométrie)
Variation de la concavité pour faire varier le paramètre dans l'équation

le coefficient à détermine la convexité la parabole:

  • à > 0: concave vers le haut
  • à < 0: concavità verso il basso
  • à = 0: la parabole dégénère en une ligne droite

Sa signification est évidente dans le cas particulier (b = 0, c = 0) dans laquelle l'équation se réduit à

Le coefficient b

Parabole (géométrie)
Le paramètre b de la fonction quadratique influe sur la position de l'axe de symétrie de la parabole, et ensuite sur la position supérieure qui à son tour se déplace sur une parabole d'équation

le coefficient détermine la pente avec laquelle la parabole coupe l'axe des ordonnées. En d'autres termes, la ligne droite tangent à la parabole au point de rencontre avec l'axe des ordonnées, on a une pente égale à Cela signifie que si est égal à zéro, le sommet de la parabole appartient à l'axe et ensuite l'axe de la parabole coïncide avec l'axe des ordonnées.

le coefficient Elle est liée à la position de 'axe de la parabole (la ligne verticale passant par le sommet), qui a l'équation

Ceci peut être démontré à la fois en trouvant le point milieu de deux points de la parabole ayant la même ordonnée, et en trouvant le zéro de la dérivée (en fait, si la première dérivée est égale à zéro, on obtient un point fixe, dans ce cas, le sommet).

Alors que le dérivé avant, il peut être facilement détectée étant une ligne droite qui coupe l'axe des abscisses au point et l'axe des ordonnées en

Considérant le sommet de la parabole peut être vu (également de l'animation à droite) que cela, varier de , Il effectue un mouvement en formant une autre parabole. En fait, vous prenez en compte les équations qui expriment les coordonnées du sommet, considérant la façon dont les inconnues et

En réécrivant, par quelques manipulations algébriques, l'équation nous pouvons identifier l'expression de dans cette équation

En remplaçant le vous obtenez la parabole

qui est l'équation de la parabole formée par les sommets des paraboles initiales obtenues pour faire varier de avec et fixe.

Le coefficient c

le coefficient c Il détermine le point d'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées.

Ceci est facilement vérifiable en rendant le système d'équations axe y avec celle d'une parabole:

Si le terme c est égal à zéro, la parabole passant par l'origine des axes.

problèmes classiques de la parabole

Parabole par trois points

trois points A, B, C, de coordonnées connues, on peut trouver les coefficients a, b, c de l'équation qui représente la courbe passant par ces points par une

système de trois équations, va remplacer les inconnues x et y avec les coordonnées des points.

la courbe passant par un point et le sommet

1er chemin (V et son remplacement par les coordonnées du point)

Ils veulent déterminer les coefficients d'une parabole avec son axe parallèle à l'axe y du type: .

On sait que la parabole a sommet au point et passe par le point .

Il exploite la condition de passage P et V, et le fait que le sommet est sur l'axe de symétrie de la parabole et, partant, .

Vous devez construire un système de trois équations inconnues a, b, c.

Il est un système de Fratto, mais facilement soluble par remplacement linéaire de b obtenue à partir de la troisième équation.

2ème façon (En utilisant le concept de faisceau de paraboles ou celui de la traduction)

Étant donné que toute parabole (axe vertical) est attribuable à la parabole , dûment traduit, vous pouvez écrire une courbe générique passant par tels que:

Il reste donc à déterminer un seul paramètre (a), qui se trouve en imposant le passage par le point , en remplaçant les coordonnées de P dans les variables x, y.

Problèmes de parabole droite

ligne droite tangente à une parabole dans son point

Compte tenu de l'équation de la parabole

et son considéré comme un point générique P coordonner

l'équation de la tangente à la parabole au point P Elle est donnée par:

démonstration

Rappelant que le coefficient angulaire de la tangente à une fonction dans un de ses points est donnée par la dérivée de la fonction calculée à ce moment, on commence par obtenir le dérivé de la parabole:

Le coefficient angulaire la tangente P Il sera ensuite donnée par la valeur du dérivé à ce point:

En substituant dans la formule générale faisceau de lignes droites ayant pour centre le point P

les valeurs et ci-dessus, nous obtenons:

(C.v.d.)

Les lignes tangentes à une parabole menée par un point situé en dehors

Parabole (géométrie)
tangentes à une parabole menée par un point extérieur P de la parabole

Compte tenu de l'équation générale de la parabole:

et un point externe à l'antenne, vous voulez trouver les tangentes aux passants parabole .

Le problème est résolu par la construction de la condition de tangence soi-disant.

Il construit son propre faisceau de lignes droites centrées au point , dont l'équation est

Ainsi, il construit le système d'équations linéaires paraboliques:

Le système ne doit pas être mis fin, car il est un système paramétrique (en plus des inconnues et il y a le paramètre ), Mais, après une substitution appropriée, on obtient l'équation du 2nd degré paramètre associé au système:

A partir de l'équation du 2ème degré, il est obtenu la discrimination qui dépend du paramètre et il impose la condition de tangence

Les solutions de cette équation, l'inconnu , Ce sont les coefficients angulaires des deux lignes qui sont tangentes à la parabole qui doit être remplacé dans l'équation de son faisceau pour déterminer les équations de ces lignes.

Une autre méthode pour la corruption menée par un point situé en dehors

Une autre méthode pour trouver les tangentes à la parabole est d'utiliser le dérivé, en effet, considérer la parabole de l'équation:

et sa dérivée première:

Pour trouver la tangente à la parabole passant par le point nous devons considérer l'équation de la ligne par ce point qui est:

Trouver nous avons:

Nous plaçons la condition de tangence et le coefficient angulaire doit être égale à la dérivée:

Il y a donc deux points appartenant à la parabole dans laquelle le dérivé est égal au coefficient angulaire de la tangente passant par le point , ces points sont déterminés par l'équation ci-dessus après. en substituant l'équation de la parabole est obtenue:

Résoudre l'équation, on obtient deux solutions pour , substituant ces solutions (indiquées ci-dessous avec ) Ensuite, dans le premier dérivé vous obtenu par le coefficient angulaire des deux lignes droites passant par le point et tangente à la parabole.

Les lignes ont donc l'équation:

paraboles de faisceau

en la géométrie analytique, on obtient un faisceau de paraboles par un combinaison linéaire, à savoir en effectuant la somme deux équations (Implicitement), les deux représentants des paraboles (qui seront les générateur du faisceau) et en multipliant l'un d'eux pour un paramètre (dans ce cas, k):

Dans ce cas, les deux ont l'axe parábolas parallèle à l'axe y.

L'un des deux générateurs de paraboles, et exactement un multipliée par le paramètre, seront exclus de l'ensemble, car ils ne seront pas obtenus pour chaque valeur de k.

Il est alors défini comme le parabole exclue de la poutre, et est obtenue seulement si k prend une valeur infinie, qui, cependant, ne sont pas un nombre réel.

En effectuant divers calculs, le faisceau se présente sous cette forme, la forme canonique d'une parabole de faisceau:

Un faisceau de paraboles peut présenter ou moins de points de base, ou points par lesquels passent toutes les paraboles de son faisceau.

Les points de base d'un faisceau sont obtenus en faisant les équations du système des deux paraboles génératrices.

En assimilant les deux équations y de vous, vous obtiendrez l'équation suivante:

A ce stade, ils présenteront plusieurs options:

si le discrimination de cette équation est positif, il existe deux étapes de base distinctes, remplacées dans l'équation de la poutre, de la combinaison.

Si le discriminant est nul, les deux points de base coïncidera et toutes les paraboles du faisceau admettent une tangente commune et sont tangents entre eux dans les deux points de base coïncident, qui appartiennent à cette tangente; Si le discriminant est négatif, il n'y aura pas de points de base.

En résumé:

0 « /> deux points de base réels et distincts
deux points de base réels et coïncident
il n'y a pas de points de base

Il peut arriver que le faisceau présente un point de base de la multiplicité 1, à travers laquelle passent toutes les paraboles de faisceau.

Cela se produit uniquement lorsque ceux-ci ont la même valeur, non seulement dans la forme, du coefficient du terme du premier degré.

Le faisceau peut contenir des couples droites ou droites.

Si k prend des valeurs telles que le coefficient du terme de second degré annule, l'équation du faisceau de paraboles se réduit à l'équation d'une ligne droite, du type:.

Dans le cas où l'équation dans laquelle les points de base sont réels et distincts, est la ligne droite passant par ceux-ci, dans le cas où ils sont réels et coïncident.

Il est la ligne tangente à l'ensemble des paraboles de faisceau, dans le cas où il n'y a pas, il est une ligne droite d'une partie du faisceau.

Si k prend des valeurs telles que le coefficient de y disparaît, l'équation du faisceau de paraboles est réduit à une équation du second degré en x, du type

, équation qui représente une paire de ligne droite parallèle à l'axe y (dans le cas de ce faisceau) et passant par l'axe des abscisses des deux points de base de la poutre.

Si ceux-ci n'existent pas, le faisceau ne contient pas des paires de lignes droites, si elles coïncident, les lignes droites de la paire seront également confondus.

Si k ne suppose pas de valeurs pour lesquelles vous pouvez obtenir les couples hétéros ou droits, ou l'un ou l'autre ne sont pas présents dans le faisceau.

Il convient de noter que dans de nombreux cas, les deux génératrices du faisceau sont juste une ligne droite et une paire de lignes droites et qui est généralement la paire de lignes droites à multiplier par le paramètre et être donc exclus du faisceau.

inégalité deuxième degré

Le plat peut également être utilisé dans la résolution inéquations du second degré, par des contrôles simples.

Il faut d'abord garder à l'esprit le sens de la parabole à travers la coefficient élevé à la place de l'inconnu.

Si ce coefficient est positif la parabole sera orientée vers le haut, vers le bas autrement.

Ensuite, nous devons savoir si ou non parabola coupe l'axe x par la discrimination:

si elle est positif, la parabole aura deux intersections avec l'axe de x vous pouvez trouver en résolvant l'équation quadratique associée.

Le plat sera tangent à l'axe en un point dont les coordonnées peuvent être découvert d'une manière similaire à la précédente.

si négatif, la parabole ne sera pas d'intersections, de l'axe et sera totalement au-dessus ou totalement en dessous,

respectivement si

0 « /> ou .

À ce stade, étant en mesure de tirer environ la parabole, on peut facilement vérifier pour lesquels une valeur de x la parabole prend des valeurs positives, négatives ou nulles.

Parabole comme lieu

La parabole, descriptivement peut également être défini comme le lieu géométrique des centres des ellipses (y compris la circonférence) tangente à une droite r et une ellipse attribué. la ligne r il est appelé gérante et la ligne droite polaire la Point incorrect, la direction dans laquelle r , Il est appelé l'axe de la parabole.

Dans le cas où l'axe de symétrie Il est perpendiculaire à r, il y a une parabole symétrique.

approximations

Parabole (géométrie)
Approximation d'une parabole avec une ligne brisée.

A propos de l'incendie et le directeur, vous pouvez dessiner une ligne brisée qui se rapproche de la règle parabole et une boussole.

notes

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