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en mathématiques, physique et philosophie les termes discret et continu avoir des significations différentes selon la période historique et le contexte. Une définition (peut-être) intuitive, bien que très informelle et imprécise, est la suivante: a objet il est considéré comme discret si elle est constituée par des éléments isolé, à-dire non contigu à l'autre, alors qu'il est considéré continu si elle contient des éléments infinis entre ces éléments et s'il n'y a pas des espaces. Pour affiner les définitions, déterminer les propriétés communes et les différences est nécessaire de fixer le cadre de référence.

Théorie de la mesure et la probabilité

en mathématiques, en particulier théorie de la mesure, un mesurer sur droit réel il est appelé mesure satisfaisante (En ce qui concerne mesure de Lebesgue) Si son soutien Il est au plus un dénombrable (Par exemple, est un ensemble fini ou est l'ensemble des nombres naturels). si et ils sont mesures sur le même sigma-algèbre, la mesure disent-ils absolument continue par rapport à si pour chaque ensemble pour lesquels . En particulier, une mesure sur boréliens de la ligne réelle est appelée mesure en continu (Ou mieux mesure absolument continue) S'il est absolument continue par rapport à mesure de Lebesgue. Le support d'une mesure en continu est un ensemble qui a plus de cardinalité dénombrable, qui est égal à celui des nombres réels (dont la cardinalité est appelé précisément du continu).

Dans ce contexte, il y a une distinction claire entre discrète et continue, mais il n'y a pas une dualité unique en fait il y a des mesures sur la ligne réelle qu'ils prennent en charge plus de dénombrables, mais qui ne sont pas continues. Ces mesures sont appelées mesures singulières. En outre des combinaisons convexes de différents types de mesures donnent des mesures que l'on appelle des mesures mixtes.

en probabilité le discours est traduit immédiatement en rappelant que tous les variable aléatoire Elle correspond à une mesure de probabilité sur la droite réelle (celle induite par départ variable aléatoire à partir de la mesure sur l'espace de probabilité). Ensuite, une variable aléatoire est appelée discret, continue ou singulier si elle est la mesure associée. Un exemple de variable aléatoire singulier probabilité est celle associée à la la distribution de Cantor.

topologie

en mathématiques, en particulier topologie, les deux termes sont difficilement comparables car souvent référence à objets différent. le terme discret Il a plusieurs significations:

  • un espace topologique il est discret si elle a la espace discret;
  • un intervalle uniforme il est discret si elle a une bonne uniformité;
  • un espace métrique il est discret si elle a la métrique discrète.
  • un sous-ensemble d'un espace topologique discret si elle est constituée par points isolés (Et cela est l'utilisation, dans ce contexte, qui est le plus proche de la définition intuitive donnée dans l'introduction).

En réalité, ces significations remontent au même concept de base: l'espace discret, selon lequel chaque point est ouvert (Topology "voit" les points individuels).

  • En tout espace métrique, la métrique induit une topologie; la métrique discrète induit l'espace discret.
  • Chaque sous-ensemble d'un espace topologique hérite d'une topologie de l'espace; sous-ensembles sont discrets lorsque la topologie qui héritera est discret.

le terme continu, cependant, il revêt une importance particulièrement en ce qui concerne fonctions continues, par exemple fait référence à des fonctions entre espaces topologiques et non aux espaces topologiques eux-mêmes. Cependant, continu en topologie est un générique espace Hausdorff compact et lié. Mais cette utilisation n'a rien à voir avec l'idée intuitive de la date d'introduction continue. Le terme (peut-être) plus approprié dans ce contexte, d'être en « opposition » est un ensemble discret ensemble dense: Un sous-ensemble A d'un espace topologique X il est épais si tous les points de x appartient à A ou point d'accumulation pour A (Donc, si le fermeture de X il est A).

Un exemple d'un ensemble dense dans un espace topologique est l'ensemble des nombres rationnels dans l'espace topologique reals, équipé de la topologie euclidienne. il a dénombrable cardinalité mais il est injuste, parce que chaque quartier des nombres rationnels contient une infinité de nombres rationnels; Il est dense, parce que chaque côté d'un nombre irrationnel contient une infinité de nombres rationnels.

D'autre part, il ne peut pas être considéré comme continu (Dans le sens intuitif de l'introduction) car il a dans son infini intérieur non dénombrable de « trous », en raison du manque de nombres irrationnels.

philosophie

La relation entre discret et continu Il est l'un des problèmes les plus anciens de la pensée humaine, déjà présent dans les écrits de Aristote et Zenone di Elea.

Il a commencé avec pythagoriciens le modèle de pensée binaire ou logocentrique, basé sur deux opposés:

  • le "fini« Positif et rassurant parce qu'il a imposé l'ordre;
  • l ' "infini« Il impose l'encombrement négatif et la confusion.

À partir opposition terminée (mesurable) - infini (incommensurable), selon les pythagoriciens comprend l'ensemble univers. L'opposition n'exclut pas une composition harmonieuse des deux concepts: pour toutes les choses sont le nombre, les résultats de la diversité dans un relations, qui est harmonie.

Les pythagoriciens avaient remarqué que toutes choses se caractérisent par la mesurabilité: à cet effet, ils ont utilisé les pierres pour des représentations visuelles, et en tant que tel ne le connaissait pas zéro.

Dans le monde complexe numéros, dont chacune représente une certaine quantité, il y a la λογοι, à savoir les relations: une piste αναλογια, à savoir, une proportion, une relation d'égalité, une opération est possible pour les pythagoriciens que les chiffres constituent une hiérarchie des valeurs (tous les nombres sont égaux en importance). En fait, la τετρακτυς (tétraktys, le triangle quaternaire) a été considéré comme un personnage sacré, sur lequel même les élèves de l'école pythagoricienne ils prononcent le serment plus difficile.

la τετρακτυς Il est la représentation graphique de nombre 10, considéré comme nombre parfait en raison de la somme des quatre premiers numéros.

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Mais la contribution la plus importante de l'école pythagoricienne était l'intuition de discrète et continue, parce que depuis les temps anciens, c'est ce qu'a dit Aristote, que « ce qui n'a pas de limite est pas pleinement représentée dans notre façon de penser, et il est donc inconnaissable ». Infinity a donc été considéré comme une limitation de la pensée et non une limitation de la pensée.

L'archétype de infini Je fourni les nombres irrationnels, par exemple.  : Grâce à une reductio ad absurdum, il est possible de trouver des approximations rationnelles de racine carrée de 2, sans jamais arriver à une solution définitive.

La notion d'approximation, l'approche définie à une destination que vous ne pouvez jamais atteindre, est devenu central en mathématiques classiques, et près de 2500 ans, le concept de l'infini a fait l'objet d'étude et de controverses et évolutions. Mais la réalité est un ensemble infini, onde continue, ou plutôt un système fini, dénombrable et commensurable?

Si la réalité des choses était vraiment continu, infini, notre connaissance serait de plus en plus contraint par les limites de nos sens.

physique

en physique, un corps de matériau peut être étudié en tant que corps discret, car il est constitué de particules élémentaires distinctes les unes des autres, ou comme un corps continu, étant donné le nombre important, la cohésion et l'interdépendance entre ces particules font disparaître toute granularité, au moins au niveau macro.

La réalité est pas un système continu: structure moléculaire, d'un point de vue mathématique, il doit être représenté comme un système fini, dont molécules sont dénombrables, ils occupent une région de espace, avoir une certaine densité de masse, un terrain de température et accélération, toute taille définie, ainsi discret.

Même un système physique comme champ électromagnétique, qui est apparemment un système continu, il est en fait un système discret photons, calculable connaître leur nombre par moyenne état physique.

On pourrait dire que le seul système réellement continu est celui espace-temps, et encore Albert Einstein a montré, dans son Théorie de la Relativité Générale, que le concept de espace et temps Ils ne sont pas absolu mais relatif, ce qui signifie qu'ils dépendent de la système de référence dans lequel l'observateur, et composent continuum l'espace-temps à quatre dimensions (trois dimensions spatiales et une temporelle).

En outre, ce système peut être regardé avec une loupe et analysé avec le échelle de Planck, qui examine les distances spatio-temporelles en termes de instruments à cordes et petite dimensions, qui représentent la « granularité » de l'espace-temps.

Le même motif continu de mécanique Il a été remis en question.

Les mécaniciens d'abord besoin d'une construction mentale, le soi-disant matériellement, qui résume le comportement des corps simples, identifiés par leur masse et par une triade de Les coordonnées la position.

En particulier, la mécanique des fluides prend en charge les systèmes continus constitués de substances liquides et gazeuses: les lois qui régissent le comportement des fluides au repos sont assez simples (loi pascal), Alors que pour les fluides en mouvement sont des lois beaucoup plus complexes: pour Euler et newton, Ils peuvent rédiger des lois et des équations que pour fluides idéaux, dont le modèle ne prend pas en compte la viscosité possible.

Ce modèle continu a été porté un coup quand on a découvert que le comportement d'un gaz faite rougeoyante est caractérisé par un spectre d'émission Il se compose d'un ensemble discret nombreux fréquences.

discrétisation

Les mathématiques classiques, et en particulier 'analyse mathématique, Il serait applicable au monde réel si elle était composée d'objets et le caractère continu des événements: au contraire, la grande majorité des phénomènes du monde réel se caractérise par discrétisation ou numérisation (anglais chiffre = Chiffres) des objets, des collections, des phénomènes qui agissent souvent en combinaison.

Une ligne tracée au crayon est un système continu. Les extractions par lots, question après question, est un système discret (par lots).

L'étude d'un fonction continue comme un ligne droite ou parabole il est impossible pour un système discret que l'ITC: sa nature numérique et les forces analytiques pour réduire la ligne droite à un ensemble de points, pour obtenir de meilleurs résultats que nombreux sont les points.

La méthode discrète de mathématiques

la mathématiques discrètes Il prend soin de classer, d'énumérer et de combiner différents objets.

La méthode utilisée est divisée en trois phases:

  • classification : Identifier les caractéristiques communes des différentes entités (La théorie des ensembles);
  • énumération : Attribuer à chacun des objets d'un certain modèle calcul un nombre naturel unique, afin de permettre l'indexation (techniques de comptage, combinatoires);
  • combinaison : Etude des ensembles finis permutarne et des éléments (combinarnematrices, graphiques).

Le dénominateur commun de ces trois aspects est la construction d'un algorithme: En mathématiques Affrontez discontinu des situations pratiques, et les problèmes connexes sont résolus par des modèles discrets.