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en mathématiques, la nombres de Stirling sont les quantités que l'on rencontre dans divers domaines de combinatoire. Ils prennent leur nom de la mathématique James Stirling.

première espèce

la Stirling numéros du premier type (Small s) sont définis comme les coefficients polynôme la descendant factoriel de x avec n facteurs:

la Stirling numéros du premier type non signé Ils sont définis par la place

et représentent le nombre de possibles permutations de n éléments k cycles disjoints.

Ils sont écrits parfois avec la notation de remplacement .

Tableau des valeurs

n \ k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
1 0 1
2 0 -1 1
3 0 2 -3 1
4 0 -6 11 -6 1
5 0 24 -50 35 -10 1
6 0 -120 274 -225 85 -15 1
7 0 720 -1764 1624 -735 175 -21 1
8 0 -5040 13068 -13132 6769 -1960 322 -28 1
9 0 40320 -109584 118124 -67284 22449 -4536 546 -36 1


Formule explicite

Source: André F. Labossière, 2006-03-27, A008275 (OEIS - L'encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers)

deuxième espèce

la Stirling numéros du deuxième type (Capital S) sont définis comme étant le nombre de possible k-partitions (partitions faites par Ie k sets) un ensemble cardinalité n. Appliquer les relations:

et

numéro Stirling
L'image montre un exemple de fonction surjective entre deux ensembles: le premier de cardinalité n = 8 et le second de cardinalité k = 3. La fonction a été construit en 3 blocs en divisant l'ensemble des 8 et associer à chaque bloc de l'un des trois éléments du second ensemble.

Bn est le 'n-e numéro bell.

En outre, il est possible de dériver une formule explicite pour le calcul des nombres de Stirling de la seconde espèce. On peut observer que le nombre de surjection un ensemble de cardinalité n l'une des cardinalité k Il peut être identifié par un découpage du domaine (cardinalité n) en k l'un des blocs et associer à chacun de ces blocs k éléments du codomain (et ce que vous pouvez faire k! façons). Ainsi, vous obtenez la formule:

Ils sont parfois écrits dans une autre notation que ou . En ce qui concerne le premier type, l'idée d'utiliser entre parenthèses, par analogie avec le coefficient binomial, Il a échoué pour la première fois à Jovan Karamata en 1935 et il a ensuite été pris en charge par Donald Knuth; C'est pourquoi connu comme « notation Karamata ».

Tableau des valeurs

n \ k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
1 0 1
2 0 1 1
3 0 1 3 1
4 0 1 7 6 1
5 0 1 15 25 10 1
6 0 1 31 90 65 15 1
7 0 1 63 301 350 140 21 1
8 0 1 127 966 1701 1050 266 28 1
9 0 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1

rapports

  • Le premier et le deuxième type sont liés par les chiffres

et

est le Kronecker. Ces relations peuvent être interprétées matrice, tout réglage N nombre naturelSi nous pensons comme matrice triangulaire inférieure avec tous 'n-k ème place et en tant que matrice, toujours inférieure triangulaire, tous 'n-k e place, puis une matrice est le 'inverse autres, à savoir
.

  • Abramowitz et aussi Stegun a donné les formules suivantes qui relient les deux types de numéros:

et

.