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Fonction continue
La fonction est continue dans le rouge, une dans le bleu est pas

en mathématiques, un fonction continue est un fonction qui fait intuitivement correspondent à des éléments voisins de manière arbitraire des éléments de domaine fermer arbitrairement codomaine.

Il existe plusieurs définitions de la continuité, ce qui correspond aux contextes mathématiques dans lesquels ils sont utilisés: la continuité d'une fonction est l'un des concepts de base de topologie et dell 'analyse mathématique.

La continuité d'une fonction peut également être définie localement: dans ce cas, nous parlons de la continuité en un point domaine. Une fonction continue est, par définition, continu en chaque point de son domaine.

Une fonction non continue est appelée discontinu, et points de domaine dans lequel n'est pas en continu sont appelés points de discontinuité.

Par exemple, la fonction h (t) qui décrit la hauteur d'un homme pour son âge peut être considéré comme une fonction continue: l'homme de courtes périodes croît légèrement. Au contraire, la fonction g (t) ce qui représente le montant d'argent dans un compte bancaire au fil du temps est une fonction discontinue, car ils font des retraits et des dépôts le saut d'une valeur à une autre.

définitions

La continuité d'une fonction est un concept topologique, et donc la définition générale d'une fonction continue se développe avec des fonctions entre espaces topologiques. Le même concept est utilisé, cependant, dans les zones moins générales, notamment en ce qui concerne son utilisation dans analyse mathématiqueIl est souvent présenté la définition de la continuité que pour des fonctions entre espaces métriques, ou encore, que pour des fonctions d'une variable réelle.

fonctions réelles

Fonction continue
Le graphique de la fonction présente une saut en x0: La fonction est pas continue

Dans le cas des fonctions d'une variable réelle, la continuité est souvent présentée comme une propriété du tableau: la fonction est continue si son graphe est formé par une seule courbe qui ne remplit pas ne saute jamais. Bien que ce concept peut être utilisé dans les cas simples pour distinguer des fonctions continues par des fonctions discontinues, il est formellement correct, et peut conduire à une ambiguïté ou une erreur.

Définition en termes de limite d'une fonction

Une fonction Il est défini comme continue au point de son domaine si son limite pour tendant à coïncide avec l'évaluation de la fonction de , ou . En symboles:[1]

Cette définition est utilisée pour plus de fonctions définies sur un intervalle de la ligne réelle: en fait, il n'a de sens que si est un point d'accumulation pour le domaine . Il est cependant extensible également dans le cas des domaines plus complexes, qui comprennent des points isolés: en eux, Il est continue pour une « vérité en blanc » (from 'Anglais vérité vide de sens).

La fonction est appelée en continu si elle est continue à chaque point domaine.

Définition epsilon-delta

Fonction continue
En étudiant la fonction dans le point , et le choix , il suffit de choisir pour faire en sorte que tous les points en images supérieure attrayante pour les moins de de

Une fonction définie sur un sous-ensemble des nombres réels d'une valeur réelle, il est appelé en continu à un point si pour chaque numéro 0 « />, arbitrairement petit, il y a un deuxième numéro 0 « /> de telle sorte que, , fonction Il est de pour moins de , à savoir:[1]

Dans le langage symbolique, une fonction est continue en un point si:

0 \ \ existe \ delta> 0: | x-p |<\delta \Rightarrow |f(x)-f(p)|<\varepsilon" />

Si cette propriété est vrai pour tous les points dans le domaine de la définition de la fonction, il est dit que la fonction est continue. Dans ce cas, nous disons que , qui est l'ensemble des fonctions à valeur réelles continues et variables .

Plus intuitive, si elle est de fonctionner DISTI par une petite quantité de nous nous limitons juste un petit assez autour du point . Si cela est possible quel que soit le choix à l'extérieur (à moins que vous restreignez plus autour de ), La fonction est continue .

Cette définition est équivalente à celle donnée précédemment: il est construit à partir de la première expliquant simplement la définition d'une limite de fonction. Il a été utilisé pour la première fois depuis cauchy.[2]

Fonctions entre espaces topologiques

Fonction continue
fa Il est continue en un point x ∈ X si (et seulement si) autour de chaque V de fa(x) Il existe un quartier U de x que fa(U) ⊆ V. Intuitivement, peu importe la taille V il y a toujours un U contenant x qui est mappé en V.

La définition de continuité donnée dans le cas des fonctions réelles peut être généralisée dans des contextes plus larges, comme celui de espaces topologiques.

Deux espaces topologiques , et les deux application. puis:

ils disent continue si rond de rond de que ;

Il est appelé en continu si ouvert en est un ouvert en .

Nous observons que d'autres définitions équivalentes de fonction continue sont les suivants:

  • Il est continue en tout point ;
  • elle a ouvert en avec un base topologie ;
  • elle a ouvert en avec un prebase topologie ;
  • fermé il est fermé en ;
  • avec la fermeture d'un sous-ensemble;
  • avec la fermeture un sous-ensemble.

La définition de la continuité est étroitement liée au choix de la topologie dans le domaine et le codomain: fonctions continues avec des choix de topologie peuvent ne pas être compatibles avec les autres. Par exemple, la fonction d'identité est continue si l'espace d'arrivée a la même topologie que l'espace de départ, ou si elle a une moins fin, ou moins ouvert. Si l'espace d'arrivée a une topologie plus fine, avec une plus grande ouverture, la fonction de l'identité est continue.

Fonctions entre les espaces métriques

la espaces métriques sont des espaces topologiques dans lequel la topologie est générée à partir d'une base de cadre circulaires.[3] les deux une fonction entre deux espaces métriques et . La fonction f est appelée continue en un point Si, pour tout choix de 0 « />, il y a un 0 « />, de telle sorte que, pour chaque point qui est inférieure à par p, à savoir que:

nous avons que Il est moins de , à savoir:[4]

La définition peut être écrit en utilisant le terme autour sphérique centré sur , rayon Dans ce cas, la fonction est continue si implique que ou, symboliquement:

0 \ quad \ existe \ delta> 0: f (E \ cap B_ \ delta (p)) \ subset B_ \ varepsilon (f (p)) « />

Il est l'ensemble de définition .[4]

Dans le cas des fonctions réelles, les définitions coïncident si les deux distances sur le domaine et codomaine ne sont rien de plus que le module de la différence entre les deux valeurs .

En outre, cette définition s'applique aux fonctions définies et des valeurs dans tous les espaces vectoriels normé, où la distance est la norme de la différence entre deux points. En particulier, il est valide avec norme euclidienne, et se prolonge alors la définition de la continuité dans les fonctions de plusieurs variables.

Exemples

Fonction continue
Une fonction cubique, exprimé par un polynôme du troisième degré, est une fonction continue.

Des exemples de fonctions continues:

  • la fonctions constantes .
  • la fonction d'identité d'un espace topologique en même espace , où Il est la même topologie d'un domaine de topologie ou moins fin.
  • Les fonctions associées à une paire de nombres la somme , le produit ou à la relation Ils sont continus dans leur définition ensemble .
  • la transformations linéaires entre espaces euclidiens
  • Les fonctions exprimées par polynômes, comme par exemple .
  • la rationnelles fonctions, à tous les points où ils sont définis, à savoir dans tous les points où vous ne résiliez pas le dénominateur.
  • la fonction exponentielle et logarithme naturel dans leur jeux de définition, ou et .
  • fonctions sein et cosinus, ou et .
  • la fonction valeur absolue Il est continue (mais pas dérivable en ).
  • la fonction Cantor et courbe Koch sont des exemples de fonctions continues avec structure fractale.
  • la courbe de Peano: a courbe plane qui couvre toute la place.
Fonction continue
La fonction Heaviside présente une discontinuité 0.

Des exemples de fonctions pas continue:

  • la fonction Heaviside, définie comme

Propriétés des fonctions continues

les deux une véritable fonction continue d'une valeur définie dans un intervalle . appliquer:

  • signe séjourSi, à un point de sa domination 0 « />, alors il existe une rond que 0 « /> dans tous les points de l'environnement.
  • théorème de valeur intermédiairesi et sont deux points du domaine, Il assume toutes les valeurs comprises entre et .
  • Théorème de Bolzanosi et sont deux points du domaine de telle sorte que (Si et ont signe différent), alors il existe au moins un que
  • Weierstrass théorèmeSi l'intervalle Il est fermé et limité, ou si , puis maximum et minimum admet, à savoir il y a deux points et de telle sorte que pour chaque .
  • si il est bijective, et son image est un intervalle, également la fonction inverse Il est continue. L'implication est pas vrai en général pour les fonctions dont image est pas intervalle.[5]

les deux une fonction entre les espaces métriques. appliquer:

  • Weierstrass théorèmesi il est l'un avec compact, puis prend maximum et minimum en . En particulier, il y a de telle sorte que pour chaque .
  • si Il est bijective et Il est compact, Il est continue.
  • Théorème de Heine - Cantorsi Il est compact, il est uniformément continue.
  • si , puis est continue si et seulement si chaque fonction continue . Ce résultat est valable pour les fonctions .[5]

les deux une fonction continue entre les espaces topologiques. appliquer:

  • la controimmagine un ouvert Il est un ensemble ouvert. Il est généralement vrai que l'image d'un ensemble ouvert est un ensemble ouvert.
  • L'image inverse d'un ensemble fermé Il est un ensemble fermé.
  • L 'image un avec compact Il est un ensemble compact.
  • L'image d'un reliés entre eux Il est un ensemble connecté.[5]
  • L'image d'un reliés entre eux par des arcs Il est un ensemble connecté pour les arcs.

composition

la Composition de fonctions constante est une fonction continue, ou si et sont deux fonctions continues, puis aussi:

Il est une fonction continue.

En raison de cette propriété, vous avez les éléments suivants:

  • la somme de deux fonctions continues est une fonction continue.
  • le produit de deux fonctions continues est une fonction continue.
  • le quotient de deux fonctions continues est une fonction continue (collectivement définie, ou lorsque Il est différent de 0).

En général, l'inverse est pas vrai: par exemple, si une fonction continue est la somme de deux fonctions, on ne dit pas que les deux cumulateurs eux-mêmes sont des fonctions continues.[5] Par exemple, si

puis et Ils ne sont pas continues, mais

Ils sont à la fois continu tout au long . De même, si

puis et Ils ne sont pas continues, mais

Il est continue sur .

succession

Fonction continue
L'animation montre une séquence de fonctions continues qui converge simplement vers une fonction discontinue

donné une succession des fonctions continues de telle sorte que la limite:

il a fini par tout (Pointwise), alors il est vrai que Il est une fonction continue. Toutefois, si la séquence converge uniformément, puis la limite de temps Il est continue.[6]

Dérivation et intégration

un fonction différentiable (Ou plus généralement un fonction différentiable) À un point Il est toujours continue à ce moment-là. Il est pas vrai dans l'autre sens: il existe des fonctions continues non dérivables, telles que la fonction valeur absolue, continue à 0 mais pas différentiables au même point. Il y a aussi des fonctions réelles continues variables à tous les points du domaine et ne dérivable dans aucun d'entre eux, tels que fonction de Weierstrass.

Une fonction continue il est toujours intégrable second Riemann (Et donc aussi la deuxième Lebesgue). De plus, toujours admet primitif et chaque primitive est continue. A l'inverse, toutes les fonctions intégrables sont continues: par exemple, sont intégrées toutes les fonctions constantes par morceaux.[7]

D'autres types de continuité

La continuité de la succession

Une fonction -Valeur réelle est continue à la succession en si, pour chaque succession à des valeurs dans le domaine de la fonction et convergent , la succession converge vers .

Cette formulation de continuité est due à Eduard Heine.

Une fonction continue est continue toujours successions, alors que, au contraire, il est possible de donner des exemples de fonctions continues pour les successions, mais pas en continu. L'inverse est vrai que si le domaine il est l'un espace séquentiel, tout comme premier espace dénombrable[8] et donc en particulier espaces métriques: Dans ce cas, donc, les deux définitions peuvent être considérées comme équivalentes.[9]

Continuité à gauche et à droite

Fonction continue
Une fonction continue vers la droite

Une fonction réelle disent-ils Continuez vers la droite en si:

où la limite est destiné uniquement bord droit.

Une fonction disent-ils toujours à gauche en si:

Une fonction est continue en un point si et seulement si on continue à droite et à gauche.

Ces propriétés ne sont pas extensibles à des fonctions dans plus d'une variable, comme dans le plan, dans l'espace, et en général quand 1 « /> n'existe pas relation d'ordre, à-dire que vous ne pouvez pas définir un « droit » ou « de gauche ».

semicontinuité

Fonction continue
Une fonction inférieure semi-: du point de saut, Il est au fond
icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: fonction semi.

Une fonction définie sur un espace topologique valeur réelle est dit inférieure semi en si pour chaque 0 « /> il y a un quartier de de telle sorte que pour chaque , nous avons:

f (x_ {0}) - \ varepsilon} « />

S'il est vrai, pour chaque :

la fonction est appelée supérieurement semi en .

Si les première (respectivement seconde) les propriétés applique en chaque point du domaine, on dit que la fonction est semi inférieure (ou semi-continue supérieurement respectivement).

La semi-continuité (à la fois supérieure et inférieure), est une des propriétés les plus faibles de continuité: fonctions semi-existent, mais pas en continu. A l'inverse, une fonction est continue si et seulement si elle est à la fois plus bas que semi-supérieurement semi-.

continuité séparée

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: continuité séparée.

Dans le cas des fonctions de plusieurs variables, il est possible de définir une condition plus faible de continuité, ledit continuité indépendante: Fonction Elle est continue séparément en un point par rapport à l'une des variables si elle continue à fonctionner en tant que variable dépendante uniquement par le paramètre , en laissant les variables restantes fixées à la valeur prise au moment considéré.

continuité uniforme

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: continuité uniforme.

Une condition plus forte (et mondiale) la continuité est de continuité uniformeUne fonction continue entre les deux espaces métriques est dite uniformément continue si le paramètre la définition ne dépend pas du point considéré, qui est, si vous pouvez choisir un qui répond à la définition de tous les points du domaine.

Plus précisément, une fonction est uniformément continue si pour tout 0 « /> il y a un 0 « /> de telle sorte que deux points quelconques et dans le domaine de loin pour moins de , puis leurs images et loin pour moins de .[5]

équicontinuité

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: équicontinuité.

Lorsque les éléments d'un ensemble de fonctions continues ont le même Module de continuité, on parle de ensemble equicontinuo. Plus précisément, Siano et deux espaces métriques et une famille de fonctions définies par en . la famille le point est equicontinua si pour chaque 0 « /> 0 « /> que pour tous et pour chaque de telle sorte que . la famille Il est equicontinua (environ ) Si elle est equicontinua sur tous les points. la famille est equicontinua uniformément si pour chaque 0 « /> 0 « /> que pour tous et pour chaque paire de points et en de telle sorte que .

De manière plus générale, quand il est l'un espace topologique, un ensemble « fonction en le point est equicontinuo si pour chaque 0 « /> le point Il est propriétaire d'un rond de telle sorte que:

Cette définition est utilisée dans le contexte de sapesso espaces vectoriels topologiques.

des fonctions continues espace

L'ensemble de toutes les fonctions continues sur un domaine sécurisé et les valeurs réelles:

Il peut être équipé d'une structure de espace vectoriel payer et dans cet ensemble:

et nombre réel:

la espace vecteur ainsi défini est dit espace des fonctions continues sur .

Si le domaine il est compact (Et donc pour toutes les fonctions vaut la Weierstrass) Dans l'espace Il peut être défini comme norme mettre:

que norme uniforme ou sous sup.

La paire constituée par l'espace et la règle uniforme identifie une espace de Banach.

notes

  1. ^ à b Apostol, T. M., pp. 130-131
  2. ^ Judith V. Grabiner, Qui vous a donné le Epsilon? Cauchy et les origines de calcul Rigoureuse (PDF), Dans la American Mathematical Monthly, vol. 90, nº 3, Mars 1983 pp. 185-194, DOI:10,2307 / 2975545, JSTOR 2975545.
  3. ^ Manetti, Marco, p. 50
  4. ^ à b Soardi, P.M., pp. 175-177
  5. ^ à b c et Soardi, P.M., cap. 7
  6. ^ E. Giusti, cap. 13
  7. ^ Soardi P.M., p.204 et pp. 295-301
  8. ^ « D'abord dénombrable » est la traduction littérale du terme premier dénombrable utilisé dans la langue anglaise. Dans la littérature récente, les mathématiques que vous préférez à terme local dénombrable pour éviter toute confusion possible avec le second dénombrable. Rappelez-vous que l'un espace topologique répond à la le premier dénombrable si chaque point admet un système fondamental des quartiers dénombrables.
  9. ^ Arkhangel'skii sous vide poussé, pp. 31-33

bibliographie

  • (FR) Michael Reed, Barry Simon, Méthodes modernes de Physique mathématique, vol. 1: Analyse fonctionnelle, 2e éd., San Diego, Californie, Academic Press inc., 1980 ISBN 0-12-585050-6.
  • Paolo Maurizio Soardi, Analyse mathématique, Città Studi, 2007 ISBN 978-88-251-7319-2.
  • Marco Manetti, topologie, Springer, 2008 ISBN 978-88-470-0756-7.
  • (FR) Tom M. Apostol, calcul, vol. 1, John Wiley Sons, inc., 1967 ISBN 0-471-00005-1.
  • (FR) Haut vide Arkhangel'skii, Pontriaguine, L. S., Topologie générale I, Springer-Verlag, 1990 ISBN 3-540-18178-4.
  • Enrico Giusti, Analyse mathématique 2, Bollati Basic Books, 2008 ISBN 978-88-339-5706-7.

Articles connexes

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