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en mathématiques, en particulier dans le calcul vectoriel, la produit vectoriel Il est un 'opération binaire interne entre deux transporteurs dans une espace euclidien trois dimensions rendements autre vecteur qui est normal au plan formé par les vecteurs de départ.

Le produit en croix est indiqué par un astérisque ou le symbole . Le deuxième symbole, cependant, est également utilisé pour indiquer la produit externe (ou cale de produit) Dans 'algèbre Grassmann, Clifford et formes différentielles. Historiquement, le produit externe a été défini par Grassmann une trentaine d'années avant Gibbs et heaviside definissero le produit vectoriel[1].

définition

vecteur produit
Produit vectoriel dans un système droitier

Le produit croisé de deux vecteurs et en Il est défini comme le vecteur perpendiculaire à eux:

est le 'coin entre et et est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan formé par et , qui fournit la direction du produit vectoriel. Il est à noter que le module le produit vectoriel est la zone de parallélogramme identifiés par deux vecteurs et .

Explicitement, ladite , et porteurs d'une base orthonormé de , le produit de et Il peut être écrit dans une telle base comme déterminant un matrice (Avec abus de notation):

Étant donné que le produit vectoriel entre deux vecteurs ne fait pas partie de l'espace de départ, nous l'appelons un pseudovecteur. Ils sont par exemple des pseudovettori (également appelés vecteurs axiaux) la moment cinétique, la la vitesse angulaire, la champ magnétique.

Vers le produit vectoriel

Comme il y a deux vecteurs unitaires et perpendiculaire à la fois que , conventionnelle vous choisissez de telle sorte que les vecteurs , et sont orientées selon un dextrogyre du système si le système de coordonnées des axes Il est dextrogyre ou sinistrogiro si le système d'axe est sinistrogiro. L'orientation du vecteur unitaire dépend alors de l'orientation des vecteurs spatiaux, ou de la chiralité la système de coordonnées orthonormé.

Une façon simple de déterminer la direction du produit vectoriel est le "règle droite». Dans un système à droite pointe vers le pouce dans la direction du premier vecteur, l'indice en ce que la seconde, la moyenne donne la direction du produit vectoriel. Dans un sinistrogiro (sterne de la main gauche) du système de référence juste inverser la direction du produit vectoriel, ou utilisez votre main gauche.

Une autre méthode simple est celle de « vis à droite ». Dans un système dextrogyre simule le mouvement de vissage ou dévissage d'une vis à droite; Il a regardé d'en haut, si la rotation de la première porteuse à la seconde la rotation est dans le sens horaire, la vis est vissée, et la direction du support est orientée vers le bas; Inversement, si elle effectue une rotation dans le sens antihoraire, la vis sera dévissé et la direction du support est orientée vers le haut.

Notation avec des indices

Le produit croisé Il peut être défini en termes de tenseur des Levi-Civita tels que:

où les indices sont les composantes orthogonales du support, en utilisant la notation Einstein.

propriété

  • Le produit vectoriel bilinéaire, à savoir trois transporteurs de données , et ayant une taille égale et un scalaire :
(Distributive par rapport à l'addition)
  • se produit ssi et ils sont linéairement dépendants. En particulier,
  • Le produit vectoriel est anticommutativo (et ne bénéficie donc pas de la propriété commutative), à ​​savoir:
  • La propriété distributive, la linéarité et la cause de l'identité Jacobi est un 'algèbre de Lie.
  • la versors (Ou vecteurs unimodulaires base canonique) , , et par rapport à un système cartésien de coordonnées orthogonales en satisfaire les équations suivantes:

produit triple

la triple produit trois vecteurs sont définis comme suit:

Ceci est le volume du parallélépipède avec des côtés signé , et , et peuvent être interchangés de tels supports:

Un autre produit de trois porteuses, ladite produit double croix, Il est lié au produit scalaire par la formule:

En cas particulier, nous avons:

Il est particulièrement utile dans un rapport calcul différentiel, en ce qui concerne l'équivalence entre le rotor et la différence entre le double de la pente de divergence et laplacien .

Une autre relation entre le produit croisé avec le produit triple:

Alors que pour:

et plus généralement:

l'identité de Lagrange

Une identité est utile:

qui peut être comparée à la 'Identité de Lagrange exprimée en:

quand et sont des vecteurs n-dimensionnelle. Cela montre que la sous forme d'un volume Riemannien pour les surfaces est exactement l'élément de surface de calcul vectoriel. Dans le cas de trois dimensions, en combinant les deux rapports précédents est obtenu par le module de produit vectoriel écrit à travers les composants:

Il est un cas particulier de la multiplication la règle de l'algèbre quaternions.

différenciation

la règle de Leibnitz aussi s'applique à celui du produit:

comme il peut être démontré en utilisant la représentation à l'aide multiplication matricielle.

applications

Le produit vectoriel est largement utilisé dans la physique et l'ingénierie, ainsi que dans la géométrie et de l'algèbre. Il comprend une liste - non exhaustive - certaines applications.

Moment de moment angulaire et mécanique

vecteur produit
représentation torque τ et moment cinétique L pour un corps lié à tourner dans un plan. la force fa et élan p Ils sont « appliqués » au bras r,

la moment cinétique d'un corps est défini comme:

est le moment de vecteur, alors que est la position vectorielle du corps par rapport au pôle de référence.

De même, la moment d'une force [2] Il est défini comme suit:

est la force appliquée au bras .

depuis l'emplacement , élan et la force ils sont tous transporteurs polaires, à la fois le moment cinétique à la fois le moment mécanique ils sont pseudo-porteuses ou vecteurs axe [3].

corps rigide

Le produit vectoriel apparaît également dans la description des mouvements de rotation. Par exemple, pour deux points P et Q sur un corps rigide Ce qui suit s'applique Droit des transports vitesse:

est la position d'un point, sa vitesse et la la vitesse angulaire le corps rigide.

depuis l'emplacement et la vitesse ils sont transporteurs polaires, la vitesse angulaire il est l'un pseudo-porteuse. [3]

force de Lorentz

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: force de Lorentz.

Etant donné une particule ponctuelle, la force électromagnétique exercée sur elle est:

où:

  • Il est la force électromagnétique totale, également connu sous le force de Lorentz
  • est le charge électrique particule
  • est le champ électrique
  • Elle est la vitesse de la particule
  • est le champ magnétique

Il convient de noter que le composant magnétique de la force est proportionnelle au produit vectoriel entre et , il est donc toujours perpendiculaire à la vitesse et il ne fonctionne pas de travail.

parce que la vitesse , force et le champ électrique ils sont tous transporteurs polaires, le champ magnétique il est l'un pseudo-porteuse. [3]

produit externe

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: externe Algèbre.
vecteur produit
Relation entre le produit vectoriel et un produit extérieur: le produit vectoriel est obtenue compte tenu de la double Hodge du bivecteur .

Le produit externe (produit en forme de coin) de deux vecteurs est un bivecteur, à savoir un élément orienté vers le plan (similaire à un vecteur qui peut être considéré comme un élément orienté ligne). Deux données vectorielles et , bivecteur Elle est orientée du parallélogramme formé par les deux vecteurs et . Le produit vectoriel est obtenue en considérant la Hodge double du bivecteur :

que les cartes bivecteurs chez les porteurs. Vous pouvez penser ce produit comme un élément multidimensionnel, qui en trois dimensions est un vecteur qui est « perpendiculaire » à la bivecteur.

généralisations

Il n'y a pas d'analogue du produit vectoriel dans les grands espaces qui retourne un vecteur. la produit externe, cependant, il a des propriétés très similaires, même si elle produit un bivecteur et non un transporteur. Le produit en forme de coin double Hodge produit un vecteur de composants qui est une généralisation naturelle du produit vectoriel dans une taille arbitraire.

algèbres de Lie

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: algèbre de Lie.

Le produit vectoriel peut être considéré comme l'un des produits les plus simples de Lie, et est donc généralisée par algèbres de Lie, qui sont axiomatisée comme des produits satisfaisants binaires axiomes multilinéarité, antisymétrie et l 'identité Jacobi. Par exemple, l'algèbre de Heisenberg fournit une autre structure d'algèbre de Lie sur . Dans la base le produit est:

Extensions multidimensionnels

On peut obtenir un produit externe pour les vecteurs de dimension similaire à 7 en utilisant le octonions Au lieu de quaternions. Au lieu de cela, il ne peut y avoir d'autres extensions de produit vectoriel qui renvoient un vecteur [4], et cela est lié au fait que le soleil algèbres de division normate sont ceux avec des dimensions 1,2,4 et 8.

Mais si l'on considère le résultat non pas comme un transporteur ou pseudovecteur mais comme matrice, alors il est possible d'étendre l'idée du vecteur produit dans un certain nombre de dimensions [5] [6] .

En mécanique, par exemple, la vitesse angulaire Il peut être interprété à la fois comme un pseudo-vecteur à la fois en tant que matrice antisymétrique . Dans ce dernier cas, la Droit des transports de la vitesse d'un corps rigide sera:

Il est formellement défini à partir de la matrice de rotation corps rigide:

Dans le champ quantique aussi moment cinétique Il est souvent représenté par un matrice antisymétrique [7], résultat d'un produit entre la position et l'élan :

parce que et Ils peuvent avoir un nombre arbitraire des composants, cette forme du produit « vecteur » (qui ne produit pas également un vecteur) peut être généralisée à toutes les tailles, tout en conservant l'interprétation du terme « physique » de l'opération elle-même.

algèbre multilinéaire

Dans le cadre de 'algèbre multilinéaire le produit croisé peut être considéré comme un tenseur Ordre (mixte) (1.2), en particulier un carte bilinéaire, obtenu à partir d'un sous forme d'un volume pour l'élévation en trois dimensions des indices.

symboles

Le produit croisé × est représentée comme suit:

  • × en HTML
  • \ times en LATEX
  • U + 00D7 en Unicode
  • alt gauche + 0215 (sur le pavé numérique) sous Windows

notes

  1. ^ Michael J. Crowe, Une Histoire de l'analyse Vecteur, parler à l'Université de Louisville, 2002
  2. ^ également appelé couple ou torque dans le domaine italien. En anglais, on appelle torque ou moment d'une force et par conséquent indiqué avec ou
  3. ^ à b c En bref, un support polaire peut être associée à une translation, tandis que l'un pseudo-vecteur est associé à une rotation. Une réflexion pseudovecteur dans un miroir alors changer « vers » (par exemple:. De la gauche pour le sens horaire)
  4. ^ W.S. Massey, produits de la Croix-de vecteurs dans des espaces euclidiens de dimension supérieure, L'American Mathematical Monthly, 1983
  5. ^ A. W. McDavid et DITE McMullen,Produits et généralisant la Croix-Les équations de Maxwell à Universal Extra Dimensions, octobre 2006
  6. ^ C.A. Gonano et R.E. zich Produit croisé en N Dimensions - le doublewedge produit, août 2014
  7. ^ Plus précisément, au moyen d'un tenseur l'ordre anti-symétrique 2.

bibliographie

  • Tullio Levi-Civita et Ugo Amaldi, de la mécanique rationnelle Leçons, vol. 1, Bologne, Pearson Education, 1949.
  • Adriano P. Morando et Sonia Leva, Notes théorie des champs vectoriels, Bologne, Esculape, 1998.

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