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la rapport Poisson est un opérateur linéaire qui se rapporte à dérivé un vecteur que systèmes de référence en mouvement rotation relative.

définition

les deux u un support générique, et les données sont deux systèmes de référence, dont l'un est fixe et l'autre en rotation par rapport à la première. Ensuite, parmi les dérivés du vecteur dans les deux systèmes de référence ont la relation suivante:

où le terme d'indice 1 représente la dérivée calculée dans le système fixe, tandis que le terme d'indice 2, le dérivé calculées dans le système en rotation. la grandeur ω dans ce cas, elle représente la rapidité avec laquelle varie l'angle entre les deux systèmes de référence, à savoir le la vitesse angulaire relative.

démonstration

Laissez un vecteur u en espace, et les deux Aθ la matrice de rotation. Ensuite, il existe une base l'espace dans lequel la matrice peut être exprimée sous la forme:

Cette matrice transforme les coordonnées du système fixe à celles du système de rotation. En outre, l'argument θ qui apparaît dans l'expression de la matrice est une fonction de la variable t.

Un transporteur peut ainsi être exprimé en combinaison linéaire des éléments des deux bases:

avec versors accentué représentant la base du système de rotation. Différentier le premier formulaire est obtenu:

exprimant la dérivée du vecteur u dans le système fixe.

Maintenant, les vecteurs unitaires du système de rotation peuvent être déterminées en utilisant la matrice de rotation:

Différenciation maintenant le deuxième mode de réalisation de u nous avons:

Les trois premiers termes sont, par définition, le dérivé du vecteur u calculées dans le système rotatif; les trois termes peuvent être réécrites restants comme:

Cependant, il est reconnu que, il dit , cette expression est exactement la déterminant de la matrice:

En fin de compte, en assimilant les deux expressions que vous avez l'idée:

La linéarité de la relation descend évidemment de la dérivée de la linéarité de l'opérateur.

applications

pour la point

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Théorème de Coriolis.

au corps rigide

De manière plus générale envisager un système de référence avec des axes orthonormés selon la convention lévogyre S ' solidaire d'un corps rigide, et en mouvement par rapport à un système équipé de la même orthonormale de base, mais fixe.

Les deux alors A la matrice dont les colonnes sont constituées par les vecteurs de base de S ' mesurée en S. Ensuite, pour la dérivée de cette matrice, la relation suivante:

B Il est une matrice antisymétrique.

démonstration

parce que A est orthonormé, elle satisfait la propriété

Différencier cette expression est obtenue

et, ladite B la matrice

il se produit B = -BT, donc B Il est antisymétrique. Cette matrice pour multiplier A Il est obtenu

Il sera alors:

Or, comme on l'a vu précédemment, le dérivé d'un vecteur unitaire est directement proportionnelle à la vitesse à laquelle il change de direction, et donc sa vitesse angulaire le long de la direction des autres vecteurs unitaires. Il en résulte que les coefficients de la matrice antisymétrique seront des vitesses angulaires. Les deux alors ω le support

Du calcul des ω × i ' nous avons:

tandis que dans le calcul de ω × j ' Il en résulte que:

Nous en concluons que α = ω3, β = ω2 et γ = ω1. Le rapport devient alors Poisson

Pour décrire la position d'un corps rigide solidaire du système S ' par rapport au système S compte tenu des vecteurs de position d'un point générique P le corps rigide

Différencier et application de la relation de Poisson vient d'obtenir, il est déterminé

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