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en analyse mathématique, pour passage à la limite sous signe de l'intégrale se réfère à la capacité de calculer le limite une succession de intégrales comme l'intégrale de la limite de succession tout fonctions intégrandes:

Ce type d'opération est présenté dans un grand nombre d'applications, et l'absence de théorèmes avec des hypothèses suffisamment générales qui permettent l'échange du passage à la limite avec l'opération d'intégration est l'une des raisons qui ont conduit à la définition de 'Lebesgue le remplacement dell 'intégrale de Riemann.[1]

Dans le cadre de 'analyse fonctionnelle, les théorèmes de passage à la limite sous le signe sont l'outil principal pour déterminer si, pour une séquence de fonctions donné, les convergence simple (presque partout) Implique la convergence en la norme1.

intégrale de Riemann

Nell 'intégrale de Riemann, la possibilité de passer à la limite sous intégrante est étroitement liée à la convergence uniforme: Le théorème principal dans ce contexte indique que l'échange est possible si l'ensemble de l'intégration est limitée, et la convergence est uniforme. La preuve de ce théorème suit presque immédiatement des définitions, puisque

qui tend vers 0 pour la convergence uniforme. Aucune des deux hypothèses, ni l'autre sont suffisantes pour assurer l'échange: pour un non, vous pouvez prendre ensemble limité par exemple la succession

(où indique la fonction de l'indicateur), Alors que dans un ensemble limité d'un exemple simple est

Dans les deux cas, les fonctions ont tendance dûment la fonction identiquement nulle (la première dans , la deuxième dans [0,1]), ce qui a évidemment intégrante 0, mais chaque élément de la succession a une intégrale.

Généralisations de ce théorème conservent au moins une partie de l'hypothèse de la convergence uniforme: on peut montrer que si la séquence {fan} Tend à une fonction pointwise fa dans un ensemble et, converge uniformément dans chaque contenu compact et et il y a une fonction g à intégrante fini de telle sorte que

pour chaque x et pour chaque n, puis l'échange est possible.

Un autre problème est la possibilité que, bien qu'il y ait la limite ponctuelle d'une séquence de fonctions peuvent être intégrées selon Riemann, ce ne sont pas intégrables à son tour: par exemple, en définissant un numérotage de tous les nombres rationnels, et la mise

elle présente une succession de fonctions intégrables (avec zéro intégral) qui converge simplement vers fonction de Dirichlet, qui n'est pas Riemann intégrable. Même dans ce cas, la présence éventuelle de la convergence uniforme permet d'affirmer l'intégrabilité de la fonction limite.

Lebesgue

Nell 'Lebesgue le passage aux théorèmes limites sous des hypothèses d'intégrales sont considérablement plus faibles que celles de l'intégrale de Riemann. Les deux théorèmes sont le prince théorème de convergence monotone (Ou Beppo Levi) Et théorème de convergence dominée. Les premiers états que l'échange entre les opérations de fin de course et l'intégration est possible si les fonctions ne sont pas négative et si la séquence augmente de façon monotone, à savoir si:[2]

pour chaque x et pour chaque n, alors que ce dernier applique dans le cas des fonctions dominées par une fonction intégrable, ou dans lesquels il existe une fonction g, finis intégrale, de telle sorte que:[3]

pour chaque x et pour chaque n. Les fonctions utilisées pour être mesurable pour donner un sens à la succession des intégrales, et il est inutile d'exiger comme hypothèse que la fonction de limite peut être mesurée depuis la limite d'une suite de fonctions mesurables est mesurable.

Les théorèmes peuvent être légèrement élargi en demandant que les hypothèses (la convergence et, respectivement, la monotonie et être dominées) ont eu lieu dans l'ensemble de l'intégration à l'exception d'un un ensemble de mesure zéro. Un affaiblissement supplémentaire du théorème de convergence monotone il a en relâchant l'hypothèse de non-négativité, car il suffit que l'un d'eux a entier supérieur donc, pour la monotonie, partage cette propriété avec tout ce qui suit. Le théorème peut également être appliquée à la diminution des séquences de fonctions, mais dans ce cas vous devez demander que l'un des Intégrales est inférieure à .

Un troisième résultat important, comme en témoigne depuis le théorème de convergence monotone est utilisé dans la convergence dominée de démonstration, est le lemme fatou, qui stipule que:

De manière équivalente, mais plus inhabituel, vous avez:

Un corollaire immédiat du théorème de convergence dominée, parfois utilisé la théorie des probabilités, indique que l'échange est possible si l'intégration de consigne est limitée et les fonctions sont uniformément bornée (autrement dit, il est une constante M tel que |fan| < M pour chaque n et presque tous les x). Le résultat, cependant, a sa propre valeur indépendante, parce que ses hypothèses peuvent être affinés en remplaçant la convergence presque partout convergence dans la mesure.

applications

série

Un cas particulier de succession des fonctions sont les sommes partielles d'une série, -à-dire les séquences du type

Le passage aux théorèmes limites sont transférés immédiatement à ce cas: en exploitant la linéarité l'intégrale dans le cas des sommes finies, on obtient que la formule

Elle est valable dans le cas d'opérandes positifs (convergence monotone) ou dans le cas où les sommes partielles sont limitées par une fonction intégrable (de convergence dominée), et en particulier dans le cas de convergence absolue.

Dans certains cas, vous pouvez de cette façon de comprendre si la somme d'une série de fonctions est plus ou ne calcule pas la somme de son ensemble; un exemple est la somme

où {qn) Est une numérotation du rationnel; série d'intégration (grâce au théorème de convergence monotone), et parce que l'intégrale de chaque opérande est inférieur à A / 2n pour une constante A, l'intégrale de fa Il est fini, puis fa continue même presque partout.

Un cas très particulier est donnée dans le cas où la mesurer considéré à la fois la mesure du comptage: dans ce cas, les intégrales sont simplement réduire les montants, et, en cas de théorèmes d'échange (non-négativité et de convergence absolue) est obtenu par la formule

domaine variable

Dans certains cas, un changement n'est pas la fonction, mais le domaine de l'intégration; ou, étant donné une suite décroissante {etn} Des ensembles, on se demande si

Dans ce cas, on peut se référer au cas en multipliant le fonction de l'indicateur de etn, ou de placer

Il obtient ainsi une succession de fonctions auxquelles les théorèmes précédents peuvent être appliqués.

d'échange tout

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Le théorème de Fubini.

Le calcul de la quasi-totalité plusieurs intégrales dépend essentiellement de la possibilité de réduire l'intégrale dans de multiples dimensions multiples intégrales dans une dimension, à savoir d'être en mesure d'avoir:[4]

où la simplicité a été écrit sur un réel intégrée en deux dimensions. La possibilité de cet échange dépend essentiellement du passage aux théorèmes limites: la démonstration du théorème de Tonelli, qui prévoit la possibilité d'échange d'aspects positifs, il y a la possibilité de se rapprocher chaque fonction mesurable avec une suite croissante de simples fonctions auquel appliquer le théorème de convergence monotone.

La théorie des probabilités

la la théorie des probabilités, qui est basé sur théorie de la mesure, Parmi ses outils théorèmes également de passage à la limite sous signe intégral: deux des utilisations de ce sont la preuve de l'existence de conditionnelle valeur attendue et le théorème de 'arrêt en option pour surmartingale.

Dans le premier, après avoir exprimé un variable aléatoire intégrable X (Dans L1) Comme la limite d'une suite croissante {Xn} Des fonctions L2 (Vous pouvez afficher plus facilement l'existence de milieux conditionnés), vous pouvez utiliser la convergence monotone pour obtenir la moyenne conditionnelle comme limite ; dans ce dernier, la convergence dominée permet de déterminer dans quelles conditions (équilibrage celles requises sur la séquence {Xn} Et ceux du temps d'arrêt τ) vous

vous pouvez donc utiliser les propriétés de surmartingale pour obtenir

et en particulier, pour martingale,

de sorte qu'il est souvent utile dans le calcul des .

notes

  1. ^ Giusti, p. 259
  2. ^ W. Rudin, Pg 21.
  3. ^ W. Rudin, Pg 26.
  4. ^ W. Rudin, Pg 140.

bibliographie

  • Enrico Giusti, Analyse mathématique 2, troisième édition, Torino, Bollati Basic Books, 2003 ISBN 88-339-5706-3.
  • Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970 ISBN 0-07-054234-1.
  • David Williams, Probabilité avec martingales, Cambridge mathématiques, manuels scolaires 1991 ISBN 978-0-521-40605-5.

Articles connexes